[유체역학 개념정리] 1단원 문제풀이 (fluid mechanics Unit 1 Solution)

시작하기 전에..

유체역학을 처음 배우는 분들, 유체역학을 다시 보고 싶으신 분들, 혹은 유체역학에 대해 알고 싶어서 오신 분들 환영합니다!
저는 대학에 다니고 있는 대학생으로, 제가 공부했던 여러 학문 분야들의 내용을 정리하여 새로이 배우는 분들에게 더 쉬운 이해를 주고자 게시글을 작성하게 되었습니다!
대학과목 특성상 자료도 찾기 쉽지 않고 어렵기에 저도 공부하는데 많이 힘들었었는데, 다양한 예시와 그림들, 그리고 문제들과 설명을 통해 많은 내용을 전달하고자 합니다.

오늘은 1단원에서 나오는 여러 가지 문제를 풀어보는 시간을 가져보도록 할게요!
유체역학 SI Version Munson 저 6판을 참고하여 작성하였습니다. (CENGAGE 출판사)

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제가 풀 문제들은 계산이 조금 있는 어려운 문제 3문제입니다. 참고해서 풀어주세요!
그리고 영어와 한글을 같이 써놓을 겁니다! 영어로 배우시는 분들은 한번 영어로 풀어보세요
 
 
 

1.

Problem 1

Two flat plates are oriented parallel above a fixed lower plate as shown. The top plate, located a distance $b$ above the fixed plate, is pulled along with speed $V$ . The other thin plate is located a distance $c b$, where $0<c<1$, above the fixed plate. This plate moves with speed $\mathrm{V}_1$, which is determined by this viscous shear forces imposed on it by the fluids on its top and bottom. The fluid on the top is twice as viscous as that on the bottom. Plot the ratio function $V_1 / V$ of $c$ for $0<$ $c<1$.
두 개의 평행평판이 그림과 같이 하부의 고정 평 판 위에 평행하게 놓여 있다. 고정 평판 위로 $b$ 만큼의 거리에 있는 위 평판은 $V$ 의 속도로 당겨지고 있다. 또 다른 얇은 평판 은 고정 평판과 $c b$ 만큼 떨어져 있고, 여기서 $0<c<1$ 의 범위 이다. 이 평판은 위아래에 있는 유체에 의해 가해지는 전단력 으로 인해 $V_1$ 의 속도로 움직인다. 위쪽 유체의 점성계수는 아 래쪽 유체의 점성계수의 두 배이다. 속도비 $V_1 / V$ 를 $c$ 의 함수 로 하여 $0<c<1$ 범위에서 도시하라.

Sol.

전단응력의 정의에 의해, 1. 윗부분 $(2 \mu)$ 에서는, 윗부분의 전단응력을 $ \tau_t $라 하면,

 

$$
\tau_t=\mu_t \frac{d u}{d y}
$$

입니다.

이때 그림으로부터 $du$와 $dy$를 구할 수 있습니다.

 

$$du=V-V_{1}, dy=b-cb$$

따라서 계산을 계속하면
$$
\tau_t=2 \mu\left(\frac{V-V_1}{b-c b}\right)
$$

2. 아랫부분에서는, 마찬가지로 전단응력의 정의에 의해,

$$du=V_{1}, dy=cb$$

으로부터
$$
\tau_b=\mu_b \frac{d u}{d y}=\mu \cdot \frac{V_1}{c b}
$$

를 얻을 수 있습니다.

 

두 부분에서 전단응력은 동일하므로,
$$
\tau_t=\tau_b
$$

입니다. 위에서 계산한 두 값을 대입하면

 

$$\begin{aligned} & \Leftrightarrow 2 \mu\left(\frac{V-V_1}{b-c b}\right)=\mu\left(\frac{V_1}{c b}\right) \\ & \Rightarrow \quad 2 \frac{V-V_1}{1-c}=\frac{V_1}{c} \\ & \Rightarrow \quad 2 c\left(V-V_1\right)=(1-c) V_1 \\ & \Rightarrow \quad 2 c V-2 c V_1=(1-c) V_1 \\ & \Rightarrow \quad \operatorname{2c} V=(1+c) V_1 \\ & \Rightarrow \quad \frac{2 c}{c+1}=\frac{V_1}{V} \\ & \therefore \quad \frac{V_1}{V}=\frac{2 c}{c+1} \quad(0<c<1) \\ & \frac{2 c}{c+1}=\frac{2 c+2-2}{c+1}=2-\frac{2}{c+1} \quad(0<c<1), \\ & \end{aligned}$$

 

가 됩니다!

정의역 조건을 조심해 주시면 되곘습니다.

 

2.

An open 2 mm diameter tube is inserted into a pan of ethyl alcohol, and similar 4 mm diameter tube is inserted into a pan of water. In which tube will the height of the rise of the fluid column due to capillary action be the greatest? Assume the angle of contact is the same for both tubes.
열린 2 mm 직경의 튜브를 에틸알코올이 들어 있는 냄 비에 넣고, 마찬가지로 4 mm 직경의 튜브를 물이 들은 냄비에 넣었다. 모세관작용으로 올라간 액주가 높이가 어느 쪽이 큰 가? 두 튜브에서 접촉각은 동일하다고 가정하라.
 
* 다음 조건을 사용하세요
$\begin{aligned}
& \sigma_{\text {ethyl alcohol }}=2.28 \times 10^{-2}[\mathrm{~N} / \mathrm{m}] \\
& \gamma_{\text {ethyl alcohol }}=7.74 \times 10^3\left[\mathrm{~N} / \mathrm{m}^3\right]
\end{aligned}$
$\begin{aligned}
& \sigma_{\text {water }}=7.34 \times 10^{-2}[\mathrm{~N} / \mathrm{m}] \\
& \gamma_{\text {water }}=9.80 \times 10^3\left[\mathrm{~N} / \mathrm{m}^3\right]
\end{aligned}$
 

각 경우를 먼저 계산해 봅시다.

먼저, 에틸 알코올의 경우를 계산하면,

직경은 $\frac{2}{2}=1.0[\mathrm{~mm}]=1 \times 10^{-3}[\mathrm{~m}]$ 입니다.

 

다른 값들을 이미 모두 알기 때문에, 접촉각을 제외한 모든 값을 대입해서 높이를 구해봅시다. 모세관작용의 공식은 자주 나온다고 했었죠.
$$
h_1=\frac{2\sigma \cos\theta}{\gamma R}=\frac{2 \times 2.28 \times 10^{-2} \cos \theta}{\left(7.74 \times 10^3\right)\left(1 \times 10^{-3}\right)}=\left(5.89 \times 10^{-3}\right) \cos \theta[\mathrm{~m}]
$$
물의 경우에도 같게 계산할 수 있습니다.

직경을 반지름으로 바꾸는 것을 잊지 마세요!
$$
\begin{aligned}
& \sigma_{\text {water }}=7.34 \times 10^{-2}[\mathrm{~N} / \mathrm{m}] \quad \gamma_{\text {water }}=9.8 \times 10^3 \quad\left[\mathrm{~N} / \mathrm{m}^3\right] \quad R=\frac{4}{2}[\mathrm{~m}]=2 \times 10^{-3}[\mathrm{~m}] \\
& h_2=\frac{2\sigma \cos\theta}{\gamma R}=\frac{2 \times 7 .34 \times 10^{-2} \cos \theta}{\left(9.8 \times 10^3\right)\left(2.0 \times 10^{-3}\right)}=\left(7.49 \times 10^{-3}\right) \cos \theta[\mathrm{m}]
\end{aligned}
$$

접촉각은 같다고 문제에서 주어졌으므로 높이를 비교하면, $h_{\text {ethyl alcohol }}<h_{\text {water }}$ 입니다!

 

3.

A layer of water flows down an inclined fixed surface with the velocity profile shown in Fig. Determine the magnitude and direction of the shearing stress that the water exerts on the fixed surface for $U=2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ and $h= 0.1 m $.
물이 고정된 경사면을 그림과 같은 속도분포로 흐르고 있다. $U=2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ 이고 $h=0.1 \mathrm{~m}$ 일 때, 물이 경사면에 가하는 전단응력의 크기와 방향을 구하라.
 
 
이때 $$\frac{u}{U}=2 \frac{y}{h}-\frac{y^2}{h^2}$$이다.
물의 점성계수는 $=1.12 \times 10^{-3} N \times s/m^2 $ 이다.

Sol.

 

전단응력의 정의에 의해

$$\tau=\mu \frac{d u}{d y} $$

이고, 주어진 속도함수 $u$를 대입하여 미분하면 ($U$를 우측 항으로 올린 다음 미분)

 

$$\frac{d u}{d y}=U\left(\frac{2}{h}-\frac{2 y}{h^2}\right)$$
와 같습니다.

 

이제 고정된 좌표 $(y=0)$을 위 식에 대입합시다.
$$
\left(\frac{d u}{d y}\right)_{y=0}=\frac{2 U}{h}
$$
따라서, 최종적인 수치를 모두 대입하면
$$
\begin{aligned}
\tau & =\mu\left(\frac{2 U}{\mathrm{h}}\right)=\left(1.12 \times 10^{-3} \frac{\mathrm{N} . \mathrm{s}}{\mathrm{m}^2}\right)(2) \frac{\left(2 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\right)}{(0.1 \mathrm{~m})} \\
& =4.48 \times 10^{-2} \frac{\mathrm{N}}{\mathrm{m}^2} \text { 유동 방향 }
\end{aligned}
$$

입니다.

수고하셨습니다!
2단원도 열심히 공부하시길 바랍니다!

2단원 첫 강의 보기

[유체역학 개념정리] 2.1 한 점에서의 압력, 파스칼의 법칙 (pressure at a point, Pascal's Law)

 

1단원 강의 다시보기

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