목차
1. 유체의 특성
유체의 정의
2. 차원과 단위
단위계
단위계의 연산
동차와 차원
SI 단위계
시작하기 전에..
유체역학을 처음 배우는 분들, 유체역학을 다시 보고 싶으신 분들, 혹은 유체역학에 대해 알고 싶어서 오신 분들 환영합니다!
저는 대학에 다니고 있는 대학생으로, 제가 공부했던 여러 학문 분야들의 내용을 정리하여 새로이 배우는 분들에게 더 쉬운 이해를 주고자 게시글을 작성하게 되었습니다!
대학과목 특성상 자료도 찾기 쉽지 않고 어렵기에 다양한 예시와 그림들, 그리고 문제들과 설명을 통해 많은 내용을 전달하고자 합니다.
오늘은 유체역학 첫 단원인 유체의 특성과 질량 및 이상기체의 법칙에 대해 알아보고자 합니다.
유체역학 SI Version Munson 저 6판을 참고하여 작성하였습니다.
유체의 특성
유체의 정의
유체(fluid)란, 크기와 무관하게 전단응력이 작용하면 연속적으로 변형되는 물질로 정의됩니다.
이때 전단응력은, 단위 면적당 받는 힘으로써, 그림에서 접선방향의 힘을 말합니다.
유체에는 여러 가지 특성들이 있습니다.
- 액체와 기체는 모두 유체입니다.
- 일반적인 고체는 전단응력이 발생하면 약간의 변형은 일어나나 지속적으로 변형되지는 않습니다.
그에 반해, 유체는 지속적인 변형이 일어납니다.
- 유체는 정량적인 분석이 어렵습니다. 따라서 평균적이거나 거시적인 관점에서 고려해야 합니다.
유체의 특정 지점에서의 속도 역시 특별한 정의가 필요합니다. 개별적인 유체를 분석하기에는 어려우므로 작은 체적을 정의하여 그 안에 포함된 분자들의 평균 속도를 기준으로 속도를 정의합니다. 이때 유체는 연속체(continuuum)로 정의됩니다.
차원과 단위
단위계
어느 물리학 과목들이 그렇듯이 유체 역학에서도 차원, 즉 단위를 중요시합니다.
아래와 같은 단위계들이 사용됩니다.
| $MLT$ system | 질량 $M$, 길이 $L$, 시간 $T$ |
| $FLT$ system | 힘 $F$, 길이 $L$, 시간 $T$ |
위 표에 제시된 $L, T, M$ 등을 일차양(primary quantity)라고 합니다.
또한 일차양 들은 이차양(secondary quantity)을 표현하는 데 사용됩니다.
이차양의 예시로는 다음과 같은 것들이 있습니다
(*MLT system을 이용하여 표현하였습니다.)
(1) 면적: 단위가 [m^2]이므로, $A=L^{2}$입니다.
(2) 속도: 단위가 [m/s] 이므로, 단위계를 사용하면 $LT^{-1}$입니다.
(3) 밀도: 단위가 [kg/m^3] 이므로, 단위계를 사용하면 $ML^{-3}$입니다.
단위계의 연산
FLT 시스템과 MLT 시스템은 상호 전환이 가능합니다. 이를 응력 $ \sigma $를 통해 알아봅시다. 한번 풀어보세요!
응력의 공식은 다음과 같습니다.
$$\sigma =\frac {F}{A}$$
(1) FLT system
분모에 면적($L^{2}$)이 있고, 분자에 힘($F$)이 있으니까, 계산하면
$\frac{[F]}{[L^2]}=FL^{-2}$
가 되겠네요. 정말 쉽습니다.
(2) MLT system
힘의 단위는, $kg \ast m/s^{2}$ 이므로, MLT 단위계로 $M L T^{-2}$입니다.
이를 위 (1)에서 구한 식 $\frac{[F]}{[L^2]}=FL^{-2}$에 대입하면,
$\sigma \doteq M L T^{-2} \ast L^{-2} = M L^{-1} T^{-2}$ 가 됩니다.
팁을 하나 드리자면, FLT와 MLT 간의 전환 시에는 다음 치환법을 이용하면 됩니다.
$$F \doteq M L T^{-2}$$
$$M \doteq F L^{-1} T^{2}$$
두 번째 식은 $$F \doteq M L T^{-2}$$를 $M$에 대해 표현한 것입니다!
동차와 차원
이론적으로 유도된 모든 식은 동일한 차원(동차; dimensionally homogeneous)을 가지고 있습니다.
어려운 말처럼 들릴 수 있지만, 쉽게 풀어서 말하자면 등호 왼쪽과 오른쪽의 차원(즉 단위)이 모두 같아야 한다는 것입니다.
예를 들어 물리학 공식 중 하나인 속도 공식을 보겠습니다.
$V=V_0+a t$
$V$와 $V_0$는 속도, $a$는 가속도, $t$는 시간입니다. 각 상수에 맞는 적절한 단위계는,
$V$, $V_0$: $LT^{-1}$
$a$ : $LT^{-2}$
$t$: $T$
입니다. 이를 모두 대입해봅시다.
$$
L T^{-1} \doteq L T^{-1}+L T^{-2} T
$$
따라서 위 식은 동치임을 알 수 있습니다.
동치의 개념은 모든 물리적 상황에서 적용됩니다. 당연한 거라고 생각하시고 넘어가면 될 수 있습니다.
아래는 대표적인 물리량들의 FLT, MLT 차원입니다.
$$
\begin{array}{lll}
& \begin{array}{l}
\boldsymbol{F L T} \\
\text { 차원 }
\end{array} & \begin{array}{l}
\text { MLT } \\
\text { 차원 }
\end{array} \\
\hline \text { 가속도 } & L T^{-2} & L T^{-2} \\
\text { 각도 } & F^0 L^0 T^0 & M^0 L^0 T^0 \\
\text { 각가속도 } & T^{-2} & T^{-2} \\
\text { 각속도 } & T^{-1} & T^{-1} \\
\text { 면적 } & L^2 & L^2 \\
\hline \text { 밀도 } & F L^{-4} T^2 & M L^{-3} \\
\text { 에너지 } & F L & M L^2 T^{-2} \\
\text { 힘 } & F & M L T^{-2} \\
\text { 주파수 } & T^{-1} & T^{-1} \\
\text { 열 } & F L & M L^2 T^{-2} \\
\hline \text { 길이 } & L & L \\
\text { 질량 } & F L^{-1} T^2 & M \\
\text { 탄성계수 } & F L^{-2} & M L^{-1} T^{-2} \\
\text { 힘의 모멘트 } & F L & M L^2 T^{-2} \\
\text { 관성 모멘트(면적) } & L^4 & L^4 \\
\hline \text { 관성 모멘트(질량) } & F L T^2 & M L^2 \\
\text { 운동량 } & F T & M L T^{-1}
\end{array}
$$
$$
\begin{array}{lll}
& \begin{array}{l}
\boldsymbol{F L T} \\
\text { 차원 }
\end{array} & \begin{array}{l}
\text { MLT } \\
\text { 차원 }
\end{array} \\
\hline \text { 동력 } & F L T^{-1} & M L^2 T^{-3} \\
\text { 압력 } & F L^{-2} & M L^{-1} T^{-2} \\
\text { 비열 } & L^2 T^{-2} \Theta^{-1} & L^2 T^{-2} \Theta^{-1} \\
\hline \text { 비중량 } & F L^{-3} & M L^{-2} T^{-2} \\
\text { 변형 } & F L^0 T^0 & M^0 L^0 T^0 \\
\text { 응력 } & F L^{-2} & M L^{-1} T^{-2} \\
\text { 표면장력 } & F L^{-1} & M T^{-2} \\
\text { 온도 } & \Theta & \Theta \\
\hline \text { 시간 } & T & T \\
\text { 토크 } & F L & M L^2 T^{-2} \\
\text { 속도 } & L T^{-1} & L T^{-1} \\
\text { 절대점성계수 } & F L^{-2} T & M L^{-1} T^{-1} \\
\text { 동점성계수 } & L^2 T^{-1} & L^2 T^{-1} \\
\hline \text { 부피 } & L^3 & L^3 \\
\text { 일 } & F L & M L^2 T^{-2}
\end{array}
$$
SI 단위계
세계적으로 인정받는 공식적인 표준 단위를 SI 단위계(국제 단위계)라고 합니다. 유체역학 대부분에서도 이 단위계를 사용합니다.
주의해야 할 점으로는 온도의 단위가 섭씨온도(C)가 아닌, 켈빈(K)를 사용한다는 것입니다.
유체역학의 모든 공식에는 켈빈(K) 단위를 사용합니다.
섭씨온도와 켈빈 간의 관계식은 다음과 같습니다.
$$
\mathrm{K}={ }^{\circ} \mathrm{C}+273.15
$$
또한, 국제단위계에서는 질량의 단위를 (kg)으로 정의하고 있습니다. 시간(s), 길이(m)등 역시 SI 단위의 기본 형태입니다.
물리량의 크기 역시 다양하며, 크기가 매우 크거나 작을 때 표현을 용이하게 하기 위해 적절한 접두어를 사용해야 합니다.
접두어들의 목록은 아래 표와 같습니다.
$$
\begin{array}{lll|lll}
\hline \text { 인수 } & \text { 접두어 } & \text { 기호 } & \text { 인수 } & \text { 접두어 } & \text { 기호 } \\
\hline 10^{15} & \text { peta } & \mathrm{P} & 10^{-2} & \text { centi } & \mathrm{c} \\
10^{12} & \text { tera } & \mathrm{T} & 10^{-3} & \text { milli } & \mathrm{m} \\
10^9 & \text { giga } & \mathrm{G} & 10^{-6} & \text { micro } & \mu \\
10^6 & \text { mega } & \mathrm{M} & 10^{-9} & \text { nano } & \mathrm{n} \\
10^3 & \text { kilo } & \mathrm{k} & 10^{-12} & \text { pico } & \mathrm{p} \\
10^2 & \text { hecto } & \mathrm{h} & 10^{-15} & \text { femto } & \mathrm{f} \\
10 & \text { deka } & \text { da } & 10^{-18} & \text { atto } & \mathrm{a} \\
10^{-1} & \text { deci } & \mathrm{d} & & & \\
\hline
\end{array}
$$
다음 게시물에는 유체의 질량과 이상기체의 법칙에 대해 다루도록 하겠습니다! 읽어주셔서 감사합니다.
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