[유체역학 개념정리] 2.1 한 점에서의 압력, 파스칼의 법칙 (pressure at a point, Pascal's Law)

목차

한 점에서의 압력

한 점에서의 압력 (1)

한 점에서의 압력 (2), 파스칼의 법칙(Pascal's Law)

오늘은 한 점에서의 압력, 파스칼의 법칙 (pressure at a point, Pascal's Law) 에 대해 알아보고자 합니다. 유체역학 SI Version Munson 저 6판을 참고하여 작성하였습니다. (CENGAGE 출판사)

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한 점에서의 압력 (1)

앞에서도 배웠듯이 압력이라는 용어는 유체 내에 주어진 평면의 한 점에 작용하는 단위면적당 수직력을 말합니다.
유체 내에서 한 점에서의 압력이 그 점을 지나는 평면의 방향에 따라 어떻게 변하는지도 알 수 있습니다.

한번 유체 내의 임의의 삼각형 모양 유체 조각을 생각해 봅시다.

유체 내의 한 점에서의 압력

 

위 그림을 잘 살펴봅시다. 그림처럼 유체 내의 일부분을 떼어서 생각해봅시다.

 

점에서의 압력을 계산할 때에는, 전단응력(shearing stress)이 없는 경우를 고려합시다.

따라서 조각에 가해지는 외력은 오직 압력과 무게밖에 없습니다.

 

간략하게 하기 위하여 $x$ 방향의 힘은 표시되어 있지 않습니다. (유체에 대한 압력이 $y$방향으로만 흐른다고 가정)

또한 $z$ 축이 수직 방향이므로 무게는 음의 $z$ 방향으로 작용합니다.

 

또한 힘을 고려해야 하기에 유체입자가 가속 운동이 가능하다고 합시다.

유체입자가 강체(rigid body)처럼 움직이는 한, 즉 유체입자들 사이에 상대운동이 없다면 전단 응력이 없다는 가정은 유효하다. (강체의 정의는 정역학을 참조하시기 바랍니다!, 강체의 거동을 할 경우 전단 응력은 존재하지 않습니다.)

$y$ 와 $z$ 방향의 운동방정식(Newton의 제 2 법칙, $\mathbf{F}=m \mathbf{a})$ 를 계산해봅시다.

$$
\begin{aligned}
& \sum F_y=p_y \delta x \delta z-p_s \delta x \delta s \sin \theta=\rho \frac{\delta x \delta y \delta z}{2} a_y \\
& \sum F_z=p_z \delta x \delta y-p_s \delta x \delta s \cos \theta-\gamma \frac{\delta x \delta y \delta z}{2}=\rho \frac{\delta x \delta y \delta z}{2} a_z
\end{aligned}
$$

 

갑자기 식이 무더기로 나와서 어려울 수 있습니다.

압력에 의한 힘을 구하기 위해서는 해당되는 면적을 압력에 곱해 주어야 한다는 점을 기억하면, 잘 이해할 수 있습니다.

이해가 안되실것 같아 식을 하나하나 뜯어보겠습니다.

(책에선 설명 하나 안하고 넘어가서 직접 써봤습니다..)

 

 

1) $y, z$방향 압력에 의한 힘 $ p_y \delta x \delta z, p_z \delta x \delta y$

공식 $F_{P}=PA$를 잘 생각해 봅시다.

압력은 그대로 $p_y$일 거고... 그림에서 미소면적 $\delta A= \delta x \delta z$ 이니까 그냥 두 식을 곱한 겁니다.

$z$축방향도 마찬가지로 계산하시면 됩니다.

 

 

2) 빗면에 대한 압력에 의한 힘 $ p_s \delta x \delta s \sin \theta, p_s \delta x \delta s \cos \theta$

빗면에 대한 힘은 똑같이 $F_{P}=PA$를 생각하면 됩니다.

다만 $p_s$ 분해를 조금 해야겠네요 (*면이 축에대해 수직이 아니기 때문입니다.)

따라서 압력은 $y$축에 대해 분해하면, $p_s \sin \theta $ 이고, 면적은 당연히 그대로 $\delta x \delta s$ 이니

그걸 그대로 곱하면 힘이 나옵니다. (*$z$축방향 성분 역시 같게 계산하면 됩니다.)

 

 

3) 무게 $\gamma \frac{\delta x \delta y \delta z}{2}$

앞에서 배웠던걸 다 써먹어야 합니다.

$$\gamma=\rho g$$ 으로부터

$$\rho=\frac{m}{V}$$ 이고,

$\rho$를 위 식에 대입하면

$$\gamma=\frac{m g}{V}=\frac{W}{V}$$

입니다.

따라서 $V$ 를 곱하면

$$\gamma V=W$$ 가 됩니다.

이때 삼각형 모양의 기둥 미소부피는 정육면체의 미소부피의 반이므로

$$\delta V=\frac{\delta x \delta y \delta z}{2}$$ 가 됩니다.

따라서 그냥 비중량이랑 부피를 곱하면 끝입니다.

 

4) 가속도 $\rho \frac{\delta x \delta y \delta z}{2} a_y, \rho \frac{\delta x \delta y \delta z}{2} a_z$

 

이 친구들은 그냥 $F=ma$를 쓴 게 끝입니다.

(작용하는 모든 힘의 합력이 가속도로써 작용해야 하기 때문이죠!)

다만 형태가 상당히 더러운데, 한번 확인해 봅시다.

현재 형태는 다음과 같고, 이를 질량과 부피로 표현하면

$$
\begin{aligned}
& F=\rho V a \\
& F=\left(\frac{m}{V}\right) V a=m a
\end{aligned}
$$

가 됩니다.

앞에서도 나왔지만, $\delta V=\frac{\delta x \delta y \delta z}{2}$ 이므로 위 식처럼 되는 겁니다.

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한 점에서의 압력 (2)

유체 내의 한 점에서의 압력

또한 그림으로부터
$$
\delta y=\delta s \cos \theta \quad \delta z=\delta s \sin \theta
$$

임을 알 수 있습니다. (직각삼각형의 삼각비를 그대로 쓴겁니다)

따라서 아까 사용했던 운동방정식

$$
\begin{aligned}
& \sum F_y=p_y \delta x \delta z-p_s \delta x \delta s \sin \theta=\rho \frac{\delta x \delta y \delta z}{2} a_y \\
& \sum F_z=p_z \delta x \delta y-p_s \delta x \delta s \cos \theta-\gamma \frac{\delta x \delta y \delta z}{2}=\rho \frac{\delta x \delta y \delta z}{2} a_z
\end{aligned}
$$

은 다음과 같이 쓸 수 있습니다. (*위 $\delta y=\delta s \cos \theta \quad \delta z=\delta s \sin \theta$를 대입, 공통항 소거를 거친 겁니다)
$$
\begin{gathered}
p_y-p_s=\rho a_y \frac{\delta y}{2} \\
p_z-p_s=\left(\rho a_z+\gamma\right) \frac{\delta z}{2}
\end{gathered}
$$

저희는 지금 한 점에서 일어나는 현상에 관심이 있으므로

$\delta x, \delta y, \delta z$ 를 극한으로 0으로 보냅시다. 단,각도 $\theta$ 는 그대로 유지하면서 보냅니다.

그렇게 되면

< 한 점에서의 압력 방정식 결론>

$$p_y=p_s \quad p_z=p_s$$

또는

$$p_s=p_y=p_z$$

위 사실로부터, 각도 $\theta$ 는 애초에 건드리지도 않았으므로 전단응력이 없는 한, 정지상태 또는 움직이는 유체 내의 한 점에서의 압력은 방향과 관계가 없다고 결론내릴 수 있습니다.

 

위와 같은 사실을 Pascal의 법칙이라 부릅니다.

예를 들어, 물이 들어있는 컵에서의 바닥과 옆면이 만나는 점에서는,

바닥에 가해지는 압력과 옆면에 가해지는 압력이 같습니다.

 

다만 뒤에서 배우겠지만, 유체입자들 사이에 상대 운동이 있으며 움직이는 (따라서 전단응력이 발생하는, 강체가 아닌) 경우, 한 점에서의 수직응력(정지된 유체에서는 압력과 같음)이 모든 방향으로 반드시 같지는 않다는 것을 알 수있습니다.

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수고하셨습니다!

 

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