[유체역학 개념정리] 2.2 압력장에 대한 기본 방정식 (the basic equation for the pressure field)

목차

압력장에 대한 기본 방정식

(1) 압력장에 대한 기본 방정식- 표면력(surface force) 유도
(2) 압력장에 대한 기본 방정식- 체적력(body force) 유도
(3) 압력장에 대한 기본 방정식 유도 및 결론

오늘은 압력장에 대한 기본 방정식(the basic equation for the pressure field)에 대해 알아보고자 합니다. 유체역학 SI Version Munson 저 6판을 참고하여 작성하였습니다. (CENGAGE 출판사)

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압력장에 대한 기본 방정식

 
 

압력장에 대한 기본 방정식 -(1)

 
저번 시간 (2.1)에서는 한 점에서의 압력이 방향에 따라 어떻게 변하는가에 관해서 알아보았습니다.
이번에는 전제는 같지만(전단응력이 없는 경우) 유체 내의 한 점에서 다른 점으로 이동하면 압력이 어떻게 변하는지 살펴보도록 하겠습니다.
 
이를 살펴보기 위해 위 그림처럼 유체 중의 임의의 위치에서 작은 직육면체 미소 요소를 생각해보겠습니다.
(* $x$축 방향의 힘도 존재하지만 나타내지 않았습니다.)
 
이 요소에 작용하는 힘들은 두 가지 형태인데,
압력 에 의한 표면력(surface force)과 요소의 무게에 해당하는 체적력(body force)이 있습니다. 이 두 힘을 모두 합치면 압력장에 대한 방정식을 계산할 수 있습니다.

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(1) 표면력(surface force)
 
저번에 했던 것처럼 $F=PA$ 공식을 사용할 겁니다.
$y$축 방향에서, 면적 $A=\delta x\delta z$ 입니다.
이제 압력만 구하면 힘을 구할 수 있는데... $p$를 그대로 써도 될까요?

우리는 중심이 아니라 일정 거리가 떨어져 있는 표면에서의 압력을 구해야 합니다.
유체요소 중심에서의 압력을 $p$ 라고 하면, 중심의 압력에서 Taylor 급수 전개를 사용해서 요소 중심으로부터 작은 거리에 떨어져 있는 지점에서의 압력의 근삿값을 구할 수 있습니다.
오른쪽 그림을 참조하고, 미적분학1 (Talyor 급수)를 참조하시기 바랍니다.
그렇게 되면 압력은 $p$가 아니라,
$(p-\frac{\partial p}{\partial y}\frac{\delta y}{2})$ (왼쪽)
$(p+\frac{\partial p}{\partial y}\frac{\delta y}{2})$ (오른쪽)
 
이 됩니다. 이제 합력을 구해봅시다!
$F=PA$를 사용하면, 각각
$F_{left}=(p-\frac{\partial p}{\partial y}\frac{\delta y}{2})\delta x\delta z$
$F_{right}=(p+\frac{\partial p}{\partial y}\frac{\delta y}{2})\delta x\delta z$
이고, 이를 합쳐서 $y$ 방향 표면력의 합을 구하면,
$$\delta F_y=(p-\frac{\partial p}{\partial y}\frac{\delta y}{2})\delta x\delta z-(p+\frac{\partial p}{\partial y}\frac{\delta y}{2})\delta x\delta z$$
입니다. 정리하면,
$$\delta F_y=-\frac{\partial p}{\partial y}\delta x\delta y\delta z$$

가 됩니다.
위에랑 완전히 똑같은 방법으로 $x$ 와 $z$ 방향 표면력을 다음과 같이 구할 수 있습니다.
$$\delta F_x=-\frac{\partial p}{\partial x}\delta x\delta y\delta z\delta F_z=-\frac{\partial p}{\partial z}\delta x\delta y\delta z$$

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이때, 유체요소에 작용하는 미소 표면력의 합을 벡터 형태로 표시하면(즉, 성분을 분해하면,)
$$\delta {\mathbf{F}}_s=\delta F_x\hat{\mathbf{i}}+\delta F_y\hat{\mathbf{j}}+\delta F_z\hat{\mathbf{k}}$$
입니다. 이제 위에서 구한 표면력을 대입하고, $\delta x\delta y\delta z$를 묶읍시다!
$$\delta {\mathbf{F}}_s=-(\frac{\partial p}{\partial x}\hat{\mathbf{i}}+\frac{\partial p}{\partial y}\hat{\mathbf{j}}+\frac{\partial p}{\partial z}\hat{\mathbf{k}})\delta x\delta y\delta z$$

이 되고, 여기서 잠깐 미적분학에서 배웠던 걸 써봅시다.

Thm. 델(Del)

$$\mathrm{\nabla }()=\frac{\partial ()}{\partial x}\hat{\mathbf{i}}+\frac{\partial ()}{\partial y}\hat{\mathbf{j}}+\frac{\partial ()}{\partial z}\hat{\mathbf{k}}$$

이고, $\mathrm{\nabla }$ 기호는 기울기(gradient) 또는 "델(del)" 벡터 연산자이다.

$\hat{\mathbf{i}},\hat{\mathbf{j}},\hat{\mathbf{k}}$ 는 단위벡터이다. (표준기저벡터)

 
압롁구배(pressure gradient)의 벡터 형테로 Del을 사용하여 표현해봅시다.
$$\frac{\partial p}{\partial x}\hat{\mathbf{i}}+\frac{\partial p}{\partial y}\hat{\mathbf{j}}+\frac{\partial p}{\partial z}\hat{\mathbf{k}}=\mathrm{\nabla }p$$
 
그런데 아까, $$\delta {\mathbf{F}}_s=-(\frac{\partial p}{\partial x}\hat{\mathbf{i}}+\frac{\partial p}{\partial y}\hat{\mathbf{j}}+\frac{\partial p}{\partial z}\hat{\mathbf{k}})\delta x\delta y\delta z$$
였습니다. 따라서 이항을 통해 $\frac{\partial p}{\partial x}\hat{\mathbf{i}}+\frac{\partial p}{\partial y}\hat{\mathbf{j}}+\frac{\partial p}{\partial z}\hat{\mathbf{k}}=\frac{-\delta {\mathbf{F}}_s}{\delta x\delta y\delta z}$
를 얻을 수 있습니다.
이를 압력 gradient 식에 대입하면 단위부피당 표면력의 합은 다음과 같이 표현됩니다.
$$\frac{\delta {\mathbf{F}}_s}{\delta x\delta y\delta z}=-\mathrm{\nabla }p$$

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(2)체적력(body force), 즉 무게($W$)
 
$z$ 축이 수직 방향이므로 유체요소의 무게는 2.1에서 무게를 계산했던 것처럼
$\gamma =\rho g$이고, $\rho =\frac{m}{V}$입니다.
$\rho$를 위 식에 대입하면$\gamma =\frac{mg}{V}=\frac{W}{V}$입니다.
따라서 $V$ 를 곱하면
$$\gamma V=W$$ 가 됩니다.
즉, 비중량과 부피를 곱하면 된다는 것이죠.
이때 미소부피가 $\delta V=\delta x\delta y\delta z$이므로,
무게는
$$-\delta W\hat{\mathbf{k}}=-\gamma \delta x\delta y\delta z\hat{\mathbf{k}}$$
입니다!
$\hat{\mathbf{k}}$는 힘이 $z$방향으로 작용함을 의미하고,
음의 부호는 무게에 의한 힘이 아래 방향(음의 $z$ 방향)임을 의미합니다.

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(3) 결과 합치기
 
Newton의 제 2 볍칙, 즉
$$\sum \delta \mathbf{F}=\delta m\mathbf{a}$$
 
를 위 결과에 적용합시다. ($\mathrm{\Sigma }\delta \mathbf{F}$는 요소에 작용하는 합력)
 
표면력(surface force)와 체적력(body force)를 모두 합산하면, 합력의 정의에 의해
$$\sum \delta \mathbf{F}=\delta {\mathbf{F}}_s-\delta W\hat{\mathbf{k}}=\delta m\mathbf{a}$$

이 됩니다. (아직 위 (1), (2)에서 구한 결과를 대입하지 않았습니다.)
이제 위 (1), (2)에서 구한 결과인
(1) : $\frac{\delta {\mathbf{F}}_s}{\delta x\delta y\delta z}=-\mathrm{\nabla }p$
(2) : $-\delta W\hat{\mathbf{k}}=-\gamma \delta x\delta y\delta z\hat{\mathbf{k}}$
 
를 대입합시다. 이때 요소의 질량은 $\delta m=\rho \delta x\delta y\delta z$ 와 같습니다 *밀도의 정의!*

$$-\mathrm{\nabla }p\delta x\delta y\delta z-\gamma \delta x\delta y\delta z\hat{\mathbf{k}}=\rho \delta x\delta y\delta z\mathbf{a}$$
 
이 됩니다. 이때 $\delta x\delta y\delta z$ 를 모두 소거하면

Def. 압력장에 대한 기본 방정식 (the basic equation for the pressure field)

$$-\mathrm{\nabla }p-\gamma \hat{\mathbf{k}}=\rho \mathbf{a}$$

를 얻을 수 있습니다.
따라서 우리는 이제 전단응력이 없는 유체에 대한 일반적인 운동방정식을 얻었습니다!

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다음 장에서는 이걸 사용해 볼 것입니다.
수고하셨습니다.
 
 
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