목차
1. 유체의 압축성(compressibility)
체적계수와 비압축성
등온과정과 등엔트로피과정에서의 체적계수
2. 음속(Speed of sound)
음속
시작하기 전에..
유체역학을 처음 배우는 분들, 유체역학을 다시 보고 싶으신 분들, 혹은 유체역학에 대해 알고 싶어서 오신 분들 환영합니다!
저는 대학에 다니고 있는 대학생으로, 제가 공부했던 여러 학문 분야들의 내용을 정리하여 새로이 배우는 분들에게 더 쉬운 이해를 주고자 게시글을 작성하게 되었습니다!
대학과목 특성상 자료도 찾기 쉽지 않고 어렵기에 저도 공부하는데 많이 힘들었었는데, 다양한 예시와 그림들, 그리고 문제들과 설명을 통해 많은 내용을 전달하고자 합니다.
오늘은유체의 압축성(등엔트로피 압축), 체적계수, 음속(incompressible, bulk modulus, Speed of sound)에 대해 알아보고자 합니다. 유체역학 SI Version Munson 저 6판을 참고하여 작성하였습니다. (CENGAGE 출판사)
유체의 압축성(compressibility)
체적계수와 비압축성
오늘 배우는 내용은 엄청나게 중요한 내용은 아니지만, 앞으로의 문제를 풀 때 꼭 사용되는 개념인 비압축성(incompressible)을 유도하는 과정을 배울 것입니다. 유도하는 과정은 크게 중요하지 않으니, 비압축성에 집중합시다!
압축성을 표현하기 위해 일반적으로 사용되는 유체의 성질은 체적계수(bulk modulus) $E_v$ 입니다.
정의는 다음과 같습니다.
$$
E_v=-\frac{d p}{d \forall / \forall}
$$
이때 $d p$ 는 체적(부피) $\forall$ 가 미소 부피 $d \forall$ 만큼 변하는 데 필요한 미소 압력변화입니다.
즉, 부피가 변하기 위해서 필요한 압력을 정의한 것이 체적계수입니다.
(-) 부호는 왜 붙을까요? 압력이 증가하면 부피는 감소하기 때문입니다! (위 그림을 참조하세요)
또한 체적계수를 밀도 $\rho$로써도 나타낼 수 있습니다.
질량과 밀도, 부피의 관계에서 질량에 대한 식 $m=\rho{ }{\forall}$을 봅시다.
질량은 언제나 일정(질량 보존의 법칙)하므로, 부피가 감소되면 밀도는 당연히 증가합니다!(*압축돼서 꽉 찬 느낌을 생각해 주세요) 그렇게 되면 위 식은
$$
E_v=\frac{d p}{d \rho / \rho}
$$
와 같습니다!
밀도와 부피가 반비례하므로 부호가 바뀐 것입니다.
체적계수(또는 체적탄성계수, bulk modulus of elasticity)의 단위는 $\mathrm{N} / \mathrm{m}^2(\mathrm{~Pa})$입니다.
또한 FLT 시스템에서 체적계수는 $F L^{-2}$ 차원을 갖습니다.
이제 비압축성을 정의합시다!
체적계수의 값이 크면, 유체는 압축이 잘 되지 않습니다.
비압축성(incompressible)이란, 부피(체적)를 변화시키는데 큰 압력변화가 필요한 경우를 말합니다.
대부분의 액체는 비압축성입니다.(즉, 체적계수가 높습니다.)
기체에 대해서도 적용은 가능하나, 대부분의 문제는 액체에서 일어납니다!
등온과정과 등엔트로피과정에서의 체적계수
이 단원도 유체역학에서는 그다지 중요하지 않습니다. (열역학에서 주로 다루는 내용이니 잠깐 보고 넘어갑시다!)
기체가 압축되거나 팽창되면, 압력과 밀도의 관계는 그 과정에서 온도의 개입 여부에 따라 달라집니다.
1. 만약 압축이나 팽 장이 온도가 일정한 조건(등온과정)에서 일어난다면, 이상기체 상태 방정식은,
$$
\frac{p}{\rho}=\text { constant }
$$
와 같습니다. ($T$가 일정하므로, 전에 배웠던 밀도에 대한 이상 기체 상태 방정식을 생각해 주세요!)
2. 마찰이 없고 주위와의 열 교환이 없이(등엔트로피과정) 압축이나 팽창이 이루어지면, 이상기체 상태 방정식은,
$$
\frac{p}{\rho^k}=\text { constant }
$$
가 됩니다.
그런데 두 번째 식에서 이 $k$는 뭘까요..? 바로 정압비열 $c_p$ 과 정적비열 $c_v$ 의 비 (즉, $\left.k=c_p / c_v\right)$ 입니다! 이는 기체의 종류마다 다 다르니, 만약 사용해야 한다면 책에 붙어있는 비열 표를 보고 직접 계산해서 쓰시면 됩니다!
(참고: 기체상수 $R$ 와 $R=c_p-c_v$ 를 가집니다!)
위의 과정을 통해 압력과 밀도 사이의 관계가 확실히 정해지면, 기체의 체적계수는 위 식 두 개를 사용하여 미분 $d p / d \rho$ 를 구한 후 체적 계수 식에 대입합니다.
계산해 보면, 등온과정에서는
$$
E_v=p
$$
등엔트로피과정에서는,
$$
E_v=k p
$$
가 됩니다!
두 경우 모두 체적계수가 압력에 직접 비례하는 것에 주목합시다.
대표적인 기체로 공기를 생각해 보면, 대기압 $p=101.3 \mathrm{kPa}(\mathrm{abs})$ 이고 $k=1.40$ 인 표준공기의 등엔트로피 체적계수는 $(101.3) \times (1.40) = 142 kPa$입니다.
이 값을 같은 조건의 물 $\left(E_v=2150 \mathrm{MPa}\right)$ 과 비교해 보면, 공기는 물보다 압축성이 약 15,000 배나 크다는 것을 알 수 있습니다. 즉, 기체를 취급할 경우 압축성의 영향이 액체보다 훨씬 큽니다. (그래서 기체보다 액체가 비압축성물질이 많은 것입니다.)
p.s. 압력의 변화가 작을 경우에는 기체라 할지라도 비압축성유체로 취급할 수 있습니다.
Ex1) 어떤 타이어에 들어있는 공기는 절대압력으로 101.3 kPa이고, 부피(체적)는 $0.03 \mathrm{~m}^3$이다.
이때 펌프를 통해 부피를 $0.015 \mathrm{~m}^3$ 까지 낮추었다. 이 과정은 등엔트로피 과정이다.
최종 절대압력은 얼마인가? 공기의 $k=1.40$이다.
Sol.
$\qquad$
등엔트로피 압축과정에서는
$$
\frac{p_i}{\rho_i^k}=\frac{p_f}{\rho_f^k}
$$
임을 위 식에서 알 수 있었습니다. 등엔트로피 과정에서는 $\frac{p}{\rho^k}=\text { constant }$ 였었죠.
참고로 여기에서 아래첨자 $i$ 와 $f$ 는 각각 최초(initial)와 최종(final) 상태를 나타냅니다.
(자주 사용되는 표기 방식이니 알아둡시다.)
최종압력 $p_f$ 을 구하는 것이므로
$$
p_f=\left(\frac{\rho_f}{\rho_i}\right)^k p_i
$$
와 같이 식을 바꿀 수 있습니다.
이때 기체의 질량 $m=\rho \forall$ 은 일정하므로 체적 $V$ 이 반으로 줄 때 밀도는 두 배가 됩니다.(증명 과정에서도 사용했었죠!)
따라서 $ \frac{\rho_f}{\rho_i}=2$ 으로부터
$$
p_f=(2)^{1.40}(101.3 \mathrm{kPa})=267 \mathrm{kPa}(\mathrm{abs})
$$
가 됩니다.
음속(speed of sound)
음속
음속(speed of sound)이란, 유체 내에서 작은 교란이 전파되는 속도를 말합니다.
즉, 유체의 압축성으로부터 우리는 유체 내 어떤 구간에서 발생된 교란이 유한한 속도로 전파됨을 알 수 있습니다.
우리가 알고 있는 그 듣는 소리랑 약간의 차이가 있습니다! 말이 어렵죠.
즉, 유체가 흐르는 파이프가 있다고 하면, 왼쪽 부분(1)에서 갑자기 닫혔는데, 그 영향(압력의 증가 등)이 아주 멀리 떨어진 오른쪽 부분(2)으로 전파되기까지 유한한 시간이 걸린다는 것입니다.
이러한 작은 교란이 전파되는 속도를 음파속도(acoustic velocity) 또는 음속(speed of sound) $c$이라 부릅니다.
음속은 유체의 압력 및 밀도 변화에 영향을 받습니다. 따라서 실험적 관찰을 통해, 아래와 같은 식을 얻을 수 있습니다.
$$
c=\sqrt{\frac{d p}{d \rho}}
$$
이때 체적계수의 정의 $E_v=\frac{d p}{d \rho / \rho}$ 로부터, $\frac{d p}{d \rho}= E_v / \rho$ 이므로,
$$
c=\sqrt{\frac{E_v}{\rho}}
$$
를 얻을 수 있습니다. (액체의 경우 보통 이 방정식을 사용합니다.)
이제 아까 구했던 등엔트로피과정에서 체적계수 $E_v=k p$를 대입합시다.
(등엔트로피과정인 이유는 교란의 크기는 대개 작으므로 열전달을 무시할 수 있기 때문입니다.)
$$
c=\sqrt{\frac{k p}{\rho}}
$$
이때 밀도에 대한 이상 기체 상태 방정식 $\rho=\frac {p}{R T}$를 대입하면,
$$
c=\sqrt{k R T}
$$
가 됩니다. (기체의 경우 이 방정식을 사용합니다.)
$c=\sqrt{k R T}$가 가장 많이 쓰이니 꼭 알아두도록 합시다!
식 $c=\sqrt{k R T}$는 이상 기체방정식을 적용한 것이므로 기체에만 사용 가능합니다.
액체에는 방정식 $c=\sqrt{\frac{E_v}{\rho}}$를 사용하면 됩니다.
아래 예제 두 문제를 풀어봅시다.
Ex2 ) $k=1.40$ 이고 $R=286.9 \mathrm{~J} / \mathrm{kg} \cdot \mathrm{K}$ 인 $15^{\circ} \mathrm{C}(288 \mathrm{~K})$ 의 공기 중에서의 음속을 구하시오.
Sol. 기체이므로, 식 $c=\sqrt{k R T}$에 의해,
$$c=\sqrt{k R T}=\sqrt{(1.40)(286.9)(288)}=340.4 [m/s]$$
가 됩니다. (절대 온도를 사용해야 하는 것을 잊지 마세요!)
Ex3) 항공기가 온도 $-54^{\circ} \mathrm {C}$이고 비열비가 $k=1.40$ 인 고도 $5,500 \mathrm{~m}$ 에서 $885 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$ 의 속도로 비행하고 있다.
비행기의 속도 $V$와 음속 $c$의 비율, 즉 $\frac{V}{c}$의 값을 구하시오.
Sol. 먼저 온도를 절대 온도로 바꾸어야 합니다.
$$T=(-54)+(273.15)=219.15$$
이제 음속 $c$를 구해야 합니다. 공식 $c=\sqrt{k R T}$에 의해,
$$
\begin{aligned}
c & =\sqrt{k R T} \\
& =\sqrt{(1.40)(286.9 \mathrm{~J} / \mathrm{kg} . \mathrm{K})(-54+273.15) \mathrm{K}} \\
& =297 \mathrm{~m} / \mathrm{s}
\end{aligned}$$
와 같이 계산됩니다.
비행기의 속도를 *m/s*로 맞추어 주어야 계산을 계속할 수 있습니다. 단위를 항상 조심하세요!
속도 $V$는,
$$
V=\frac{(885 \mathrm{~km} / \mathrm{h})(1000 \mathrm{~m} / \mathrm{km})}{(3600 \mathrm{~s} / \mathrm{h})}=246 \mathrm{~m} / \mathrm{s}
$$
따라서, 음속과 속도의 비 $\frac{V}{c}$는,
$$
\frac{V}{c}=\frac{246 \mathrm{~m} / \mathrm{s}}{297 \mathrm{~m} / \mathrm{s}}=0.828
$$
입니다.
수고하셨습니다! 다음엔 1단원의 마지막 부분인 증기압과 표면 장력에 대해 알아보려고 합니다.
읽어주셔서 감사합니다!
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