[미분적분학(2) 개념 정리] 12.3 (1) 호의 길이, 호의 길이함수, 매개변수화, 곡률 (Arc Length, Arc Length Function, parametrization, curvature)

 

 

목차

1. 호의 길이
2. 호의 길이 함수
3. 매개변수화
4. 곡률
5. 예제
 

증명이나 해설은 더보기를 눌러 확인할 수 있습니다! 꼭 한번씩 보시기 바랍니다.

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호의 길이 (Arc length)

Arc length

호의 길이는 말 그대로 특정 공간에서 곡선의 길이를 의미합니다.
사실 이 내용은 새로운 내용은 아니고
이미 평면에서의 곡선에 대한 호의 길이는 미분적분학 (1)에서 이미 배웠습니다.

Thm. 2차원 평면에서 호의 길이

$f^{\prime }$ 과 $g^{\prime }$ 이 연속이고 각 매개변수방정식이 $x=f(t),y=g(t),a\le t\le b$ 이면

평면곡선의 길이는, 다음과 같다.
$$L={\int }_a^b\sqrt{{[f^{\prime }(t)]}^2+{[g^{\prime }(t)]}^2}dt={\int }_a^b\sqrt{{\left(\frac{dx}{dt}\right)}^2+{\left(\frac{dy}{dt}\right)}^2}dt$$

 
3차원 평면, 즉 공간에서의 호의 길이도 위 식과 별반 다르지 않습니다.
그냥 차원만 확장시킨 것 뿐입니다! 이를 앞에서 배운 벡터함수와 연관지어서 쓸 수 있습니다.

Thm. 3차원 평면에서 호의 길이

곡선의 벡터방정식이 $\mathbf{r}(t)=⟨f(t),g(t),h(t)⟩,a\le t\le b$ 이라 하자.

또는 매개변수방정식 $x=f(t),y$ $=g(t),z=h(t)$ 이고 $f^{\prime },g^{\prime },h^{\prime }$ 이 연속이라 하자.

(위 두개는 같은 말입니다.)

$t$ 가 $a$ 에서 $b$ 까지 증가함에 따라 곡선의 궤적이 유일하다면, 호의 길이는 아래와 같다.
$$\begin{array}{rl}L& ={\int }_a^b\sqrt{{[f^{\prime }(t)]}^2+{[g^{\prime }(t)]}^2+{[h^{\prime }(t)]}^2}dt\\ & ={\int }_a^b\sqrt{{\left(\frac{dx}{dt}\right)}^2+{\left(\frac{dy}{dt}\right)}^2+{\left(\frac{dz}{dt}\right)}^2}dt\end{array}$$

즉,

$$L={\int }_a^b|{\mathbf{r}}^{\prime }(t)|dt$$

< 증명 >

평면곡선 $\mathbf{r}(t)=f(t)\mathbf{i}+g(t)\mathbf{j}$ 으로부터 벡터의 크기의 정의에 의해 다음과 같습니다.
$$|{\mathbf{r}}^{\prime }(t)|=|f^{\prime }(t)\mathbf{i}+g^{\prime }(t)\mathbf{j}|=\sqrt{{[f^{\prime }(t)]}^2+{[g^{\prime }(t)]}^2}$$

마찬가지로 공간곡선 $\mathbf{r}(t)=f(t)\mathbf{i}+g(t)\mathbf{j}+h(t)\mathbf{k}$ 으로부터 벡터의 크기의 정의에 의해 다음과 같습니다.
$$|{\mathbf{r}}^{\prime }(t)|=|f^{\prime }(t)\mathbf{i}+g^{\prime }(t)\mathbf{j}+h^{\prime }(t)\mathbf{k}|=\sqrt{{[f^{\prime }(t)]}^2+{[g^{\prime }(t)]}^2+{[h^{\prime }(t)]}^2}$$

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매개변수화

일반적인 곡선 또는 벡터함수는 매개변수로 여러 개를 사용할 수 있습니다. (바꿀 수 있다는 뜻입니다.)
이때 어떤 형태의 매개변수를 사용하는지와는 관계없이 호의 길이는 일정합니다.
이렇게 곡선의 매개변수를 바꾸는 과정을 매개변수화(parametrization)라고 합니다.
중요한 것은 매개변수를 바꾸면 해당하는 정의역 역시 따라서 변한다는 것입니다.
 

Ex. 매개변수화(parametrization)

$${\mathbf{r}}_1(t)=⟨t,t^2,t^3⟩,1\le t\le 2$$
이를 $t$ 와 $u$ 에 대해서 $t=e^u$라고 정의하고 $u$에 대해 매개변수화 하면

다음과 같이 나타낼 수 있습니다.
$${\mathbf{r}}_2(u)=⟨e^u,e^{2u},e^{3u}⟩,0\le u\le \ln 2$$

앞서 말했지만 정의역의 변화가 정말 중요합니다.

호의 길이를 구할 때도 해당 정의역을 사용해야 합니다.

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호의 길이 함수(Arc length function)

호의 길이함수(arc length function)

 
특정 시점을 정하고 그 시점으로부터 매개변수 값이 변할 때 곡선의 길이를 치역으로 둔 함수를 호의 길이함수(arc length function) 라고 합니다.
 
위 그림을 참조하면 호의 길이 함수 $s(t)$는, 곡선 $C$ 의 $\mathbf{r}(a)$ 와 $\mathbf{r}(t)$ 사이의 길이입니다.
즉, 시점 $\mathbf{r}(a)$ 부터 시작하여 $\mathbf{r}(t)$ 까지의 길이를 함수로 표현한 것입니다.
 

Def. 호의 길이 함수(Arc length function) $s$

$$s(t)={\int }_a^t|{\mathbf{r}}^{\prime }(u)|du={\int }_a^t\sqrt{{\left(\frac{dx}{du}\right)}^2+{\left(\frac{dy}{du}\right)}^2+{\left(\frac{dz}{du}\right)}^2}du$$

 

또한 양변을 미분하면

$$\frac{ds}{dt}=|{\mathbf{r}}^{\prime }(t)|$$

 
처음 배울때 조심해야 하는 것이 함수의 정의역($t$)과 곡선을 정의할 때 사용하는 매개변수($u$)가 다르다는 점입니다. 엄연히 다른 변수이므로 다르게 적용해야 합니다.
만약 같은 변수를 사용할 경우 수학적 오류가 발생합니다.
 
 

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호의 길이는 특정한 좌표계나 매개변수화에 죄우되지 않고 곡선의 모양에 따라
자연스럽게 생기는 것이므로, 곡선을 호의 길이에 관해 매개변수화하는 문제가 자주 나옵니다.
 
곡선 $\mathbf{r}(t)$ 가 이미 매개변수 $t$ 에 관헤 주어져 있고 $s(t)$ 를 구할 수 있다면, $t$ 를 $s$ 에 관한 함수 즉, $t(s)$ 를 구하여 벡터함수를 쓸 수 있습니다.
그러면 곡선은 $t$ 를 대입함으로써 $\mathbf{r}=\mathbf{r}(t(s))$ 와 같이 다시 $s$ 에 관해서 매개변수화됩니다.
예를 들어 $s=3$ 이면 $\mathbf{r}(t(3))$ 은 시점에서 곡선을 따라 길이가 3만큼 떨어져 있는 점의 위치벡터입니다.
 
말이 어려운데,
쉽게 설명하자면 우리가 처음 벡터함수를 정의할 때 매개변수를 $t$를 사용했습니다.
이 매개변수 $t$ 를 곡선의 길이 $s$ 로 바꾼다고 생각하시면 됩니다. 즉 $s$를 정의역으로 바꾸겠다는 것입니다.
 

Tip. 길이에 대한 매개변수화

1. 호의길이 함수를 미분하여 $t$와 $s$에 대한 관계식을 구한다.

2. $t(s)=///$ 로 나타낸다.

3. $\mathbf{r}(t)$에서 원래 $t$ 자리 대신 $///$ 를 넣는다.

 
예제에서 해당 내용이 나오니 꼭 봐주세요.
 

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곡률(Curvature)

곡선에서 단위접선벡터들

 
이제 12단원에서 제일 어렵고 복잡하고 더러운 내용인 곡률과 비틀림율을 알아볼 차례입니다.
이번 게시물에는 곡률만 볼 예정입니다.
정말 계산이 더럽고 외울 게 많아서 사실 어떻게 보면 암기 파트라고 봐도 무방합니다.
참고로 이 내용을 이해하려면 저번 시간에 배운 단위접선벡터(unit tangent vector)를 정확히 알아야 합니다.
2024.08.30 - [기초공학과목/미분적분학(2)] - [미분적분학(2) 개념 정리] 12.2 벡터함수의 도함수와 적분(Derivatives and Integrals of Vector Functions)
 
 
곡률의 국어적 정의는 "곡선이 길이에 따라 방향을 얼마나 빨리 바꾸느냐" 입니다.
다만 이때 곡선이 "시간($t$)에 따라"가 아니라, "길이($s$)에 따라"가 중심이 되는 것에 주목해야 합니다.
수학적으로, 곡률은 호의 길이($s$)에 대한 단위접선벡터($T$)의 변화율의 크기로 정의됩니다.
 
호의 길이는 말 그대로 길이이고, 단위접선벡터는 크기가 고정되었으므로 접선 방향만을 나타내기에 곡률을 정의할 수 있는 겁니다.
 

Def. 곡률(Curvatre)

단위접선벡터 $\mathbf{T}$ 에 대해 곡선의 곡률(curvature)을 다음과 같이 정의한다.
$$\kappa =\left|\frac{d\mathbf{T}}{ds}\right|$$

 
물론 위 식에는 벡터가 들어가 있기 때문에 시험에서 이 정의를 토대로 계산하지는 않습니다.
상황이 여러 개가 있는데, 크게 3가지 공식이 있습니다.

Thm. 곡률 1 ($\mathbf{T}(t)$와 $\mathbf{r}(t)$ 를 알 때 or $\mathbf{r}(t)$만을 알 때, 제일 많이 씀)

$$\kappa (t)=\frac{|{\mathbf{T}}^{\prime }(t)|}{|{\mathbf{r}}^{\prime }(t)|}$$

Thm. 곡률 2 ($\mathbf{r}(t)$만을 알 때, $\mathbf{r}(t)$의 형태에 따라 가끔 쓰임)

$$\kappa (t)=\frac{|{\mathbf{r}}^{\prime }(t)\times {\mathbf{r}}^{\prime \prime }(t)|}{{|{\mathbf{r}}^{\prime }(t)|}^3}$$

Thm. 곡률 3 ($y=f(x)$ 꼴로 주어져 있을 때)

$$\kappa (x)=\frac{|f^{\prime \prime }(x)|}{{[1+{(f^{\prime }(x))}^2]}^{3/2}}$$

$|{\mathbf{r}}^{\prime }(t)|$ 같은건 그냥 벡터의 크기를 계산하시면 됩니다.
보셔서 아시겠지만 식이 정말 더럽습니다.
 
먼저 각 공식의 증명은 아래와 같습니다.
<공식 1>

매개변수가 $s$ 대신에 $t$ 로 표현하게 되면, 연쇄법칙을 이용해서 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
$$\frac{d\mathbf{T}}{dt}=\frac{d\mathbf{T}}{ds}\frac{ds}{dt}⟹\kappa =\left|\frac{d\mathbf{T}}{ds}\right|=\left|\frac{d\mathbf{T}/dt}{ds/dt}\right|$$
이때 호의 길이함수 정의로부터 $ds/dt=|{\mathbf{r}}^{\prime }(t)|$ 를 얻을 수 있고 이를 대입하면 위 공식이 나옵니다.

<공식 2>

$\mathbf{T}={\mathbf{r}}^{\prime }/\left|{\mathbf{r}}^{\prime }\right|$ 이고, $\left|{\mathbf{r}}^{\prime }\right|=ds/dt$ 이므로 다음과 같습니다.
$${\mathbf{r}}^{\prime }=\left|{\mathbf{r}}^{\prime }\right|\mathbf{T}=\frac{ds}{dt}\mathbf{T}$$

그러므로 12.2절에서 배운 내용을 활용하면 다음과 같습니다.
$${\mathbf{r}}^{\prime \prime }=\frac{d^{2}s}{d{t}^2}\mathbf{T}+\frac{ds}{dt}{\mathbf{T}}^{\prime }$$
이때 $\mathbf{T}\times \mathbf{T}=\mathbf{0}$ (외적의 성질) 이므로,
$${\mathbf{r}}^{\prime }\times {\mathbf{r}}^{\prime \prime }={\left(\frac{ds}{dt}\right)}^2(\mathbf{T}\times {\mathbf{T}}^{\prime })$$

그런데 단위접선벡터의 정의에서 모든 $t$ 에 대해 $|\mathbf{T}(t)|=1$ 이므로,

12.2절에서 배운 벡터함수의 성질에 따라 $\mathbf{T}$ 와 ${\mathbf{T}}^{\prime }$ 은 직교합니다.

따라서 외적의 크기를 계산하면
$$|{\mathbf{r}}^{\prime }\times {\mathbf{r}}^{\prime \prime }|={\left(\frac{ds}{dt}\right)}^2|\mathbf{T}\times {\mathbf{T}}^{\prime }|={\left(\frac{ds}{dt}\right)}^2|\mathbf{T}|\left|{\mathbf{T}}^{\prime }\right|={\left(\frac{ds}{dt}\right)}^2\left|{\mathbf{T}}^{\prime }\right|$$

이고, 적절히 정리하면 다음과 같습니다.
$$\begin{array}{rl}\left|{\mathbf{T}}^{\prime }\right|& =\frac{|{\mathbf{r}}^{\prime }\times {\mathbf{r}}^{\prime \prime }|}{(ds/dt{)}^2}=\frac{|{\mathbf{r}}^{\prime }\times {\mathbf{r}}^{\prime \prime }|}{{\left|{\mathbf{r}}^{\prime }\right|}^2}\\ \kappa & =\frac{\left|{\mathbf{T}}^{\prime }\right|}{\left|{\mathbf{r}}^{\prime }\right|}=\frac{|{\mathbf{r}}^{\prime }\times {\mathbf{r}}^{\prime \prime }|}{{\left|{\mathbf{r}}^{\prime }\right|}^3}\end{array}$$

<공식 3>

방정식이 $y=f(x)$ 인 평면곡선의 경우 $x$ 를 매개변수로 택해야 합니다.
이때 벡터의 정의에 의해 $\mathbf{r}(x)=$ $x\mathbf{i}+f(x)\mathbf{j}$ 로 쓸 수 있습니다.

벡터함수를 미분하면 ${\mathbf{r}}^{\prime }(x)=\mathbf{i}+f^{\prime }(x)\mathbf{j},{\mathbf{r}}^{\prime \prime }(x)=f^{\prime \prime }(x)\mathbf{j}$ 이고
$\mathbf{i}\times \mathbf{j}=\mathbf{k},\mathbf{j}\times \mathbf{j}=\mathbf{0}$ 이므로
${\mathbf{r}}^{\prime }(x)\times {\mathbf{r}}^{\prime \prime }(x)=f^{\prime \prime }(x)\mathbf{k}$ 를 얻을 수 있습니다.

또한 벡터의 크기의 정의에 따라 $|{\mathbf{r}}^{\prime }(x)|=\sqrt{1+{[f^{\prime }(x)]}^2}$ 이므로 다음과 같습니다. (공식 2 사용)
$$\kappa (x)=\frac{|f^{\prime \prime }(x)|}{{[1+{(f^{\prime }(x))}^2]}^{3/2}}$$

필요한 상황에 맞게 식을 적절히 사용하셔서 계산하시면 됩니다.
뒤의 예제에서 공식을 한 번씩 사용해 보았습니다.

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예제

P1. 호의 길이 (Arc length)
점 $(1,0,0)$ 에서 점 $(1,0,2\pi )$ 까지 벡터방정식이 $\mathbf{r}(t)=\cos t\mathbf{i}+\sin 1\mathbf{j}+\mathbf{k}$ 인 원형나선의 호의 길이를 구하시오.

${\mathbf{r}}^{\prime }(t)=-\sin t\mathbf{i}+\cos t\mathbf{j}+\mathbf{k}$ 이므로
$$|{\mathbf{r}}^{\prime }(t)|=\sqrt{(-\sin t{)}^2+{\cos }^{2}t+1}=\sqrt{2}$$
입니다.

$(1,0,0)$ 에서 $(1,0,2\pi )$ 까지의 호는 매개변수 구간이 $0\le t\le 2\pi$ 로 표현되므로,

호의 길이 공식을 그대로 사용하면
$$L={\int }_0^{2\pi }|{\mathbf{r}}^{\prime }(t)|dt={\int }_0^{2\pi }\sqrt{2}dt=2\sqrt{2}\pi$$

P2. 길이 $s$에 대해 매개변수화(parametrization)
나선 $\mathbf{r}(t)=\cos t\mathbf{i}+\sin t\mathbf{j}+t\mathbf{k}$ 를 시점 $(1,0,0)$ 으로부터 $t$ 가 증가하는 방향으로 측정한 호의 길이에 관해 다시 매개변수화하라.

Tip. 길이에 대한 매개변수화

1. 호의길이 함수를 미분하여 $t$와 $s$에 대한 관계식을 구한다.

2. $t(s)=///$ 로 나타낸다.

3. $\mathbf{r}(t)$에서 원래 $t$ 자리 대신 $///$ 를 넣는다.

 

시점 $(1,0,0)$ 은 유일하게 매개변숫값 $t=0$ 에 해당합니다.

먼저 호의 길이 함수를 계산합니다.
$$\frac{ds}{dt}=|{\mathbf{r}}^{\prime }(t)|=\sqrt{2}$$

따라서 $s$와 $t$에 대한 관계식은 다음과 같습니다.
$$s=s(t)={\int }_0^t|{\mathbf{r}}^{\prime }(u)|du={\int }_0^t\sqrt{2}du=\sqrt{2}t$$

그러므로 $t=s/\sqrt{2}$ 이고, $t$ 대신 $s$ 를 사용하면 (위 Tip을 참고하세요)
$$\mathbf{r}(t(s))=\cos (s/\sqrt{2})\mathbf{i}+\sin (s/\sqrt{2})\mathbf{j}+(s/\sqrt{2})\mathbf{k}$$

P3. 곡률(Curavature)
반지름 $a$ 인 원의 곡률이 $1/a$ 임을 보여라.
(Hint : $\mathbf{r}(t)=a\cos t\mathbf{i}+a\sin t\mathbf{j}$ 를 사용할 것)

중심이 원점인 원을 일반성을 잃지 않고 골라 봅시다. 이때 매개변수화는 다음과 같습니니다.
$$\mathbf{r}(t)=a\cos t\mathbf{i}+a\sin t\mathbf{j}$$
곡률을 구하려면 ${\mathbf{T}}^{\prime }(t)$와 ${\mathbf{r}}^{\prime }(t)$의 크기가 필요합니다.

먼저 ${\mathbf{r}}^{\prime }(t)=-a\sin t\mathbf{i}+a\cos t\mathbf{j}$ 이고 $|{\mathbf{r}}^{\prime }(t)|=a$ 입니다.
이제 ${\mathbf{T}}^{\prime }(t)$를 구하면, 단위접선벡터의 정의에 의해
$$\begin{array}{c}\mathbf{T}(t)=\frac{{\mathbf{r}}^{\prime }(t)}{|{\mathbf{r}}^{\prime }(t)|}=-\sin t\mathbf{i}+\cos t\mathbf{j}\\ {\mathbf{T}}^{\prime }(t)=-\cos t\mathbf{i}-\sin t\mathbf{j}\end{array}$$
입니다.
이것으로부터 $|{\mathbf{T}}^{\prime }(t)|=1$ 이므로 곡률의 공식 1에 의해
$$\kappa (t)=\frac{|{\mathbf{T}}^{\prime }(t)|}{|{\mathbf{r}}^{\prime }(t)|}=\frac{1}{a}$$

P4. 곡률(Curavature)
임의의 점과 $(0,0,0)$ 에서 비틀린 삼차곡선 $\mathbf{r}(t)=⟨t,t^2,t^3⟩$ 의 곡률을 구하라.

공식 2를 사용합시다. 필요한 요소는 $|{\mathbf{r}}^{\prime }(t)\times {\mathbf{r}}^{\prime \prime }(t)|$ 와 $|{\mathbf{r}}^{\prime }(t)|$ 입니다.
차례로 구해보면 (매우 복잡합니다.)
$$\begin{array}{rl}{\mathbf{r}}^{\prime }(t)& =⟨1,2t,3t^2⟩{\mathbf{r}}^{\prime \prime }(t)=⟨0,2,6t⟩\\ |{\mathbf{r}}^{\prime }(t)|& =\sqrt{1+4t^2+9t^4}\\ {\mathbf{r}}^{\prime }(t)\times {\mathbf{r}}^{\prime \prime }(t)& =\left|\begin{array}{ccc}\mathbf{i}& \mathbf{j}& \mathbf{k}\\ 1& 2t& 3t^2\\ 0& 2& 6t\end{array}\right|=6t^2\mathbf{i}-6t\mathbf{j}+2\mathbf{k}\\ |{\mathbf{r}}^{\prime }(t)\times {\mathbf{r}}^{\prime \prime }(t)|& =\sqrt{36t^4+36t^2+4}=2\sqrt{9t^4+9t^2+1}\end{array}$$

공식 2를 사용하면 곡률은 다음과 같습니다.
$$\kappa (t)=\frac{|{\mathbf{r}}^{\prime }(t)\times {\mathbf{r}}^{\prime \prime }(t)|}{{|{\mathbf{r}}^{\prime }(t)|}^3}=\frac{2\sqrt{1+9t^2+9t^4}}{{(1+4t^2+9t^4)}^{3/2}}$$

따라서 매개변수는 $t=0$으로 유일합니다. 이때, 원점에서의 곡률은 $\text{boldsymbol}\kappa (0)=2$ 입니다.

P5. 곡률(Curavature)

P5

점 $(0,0)$ 에서 포물선 $y=x^2$ 의 곡률을 구하라.

$y=f(x)$ 꼴이므로 공식 3을 사용합시다.
$y^{\prime }=2x,y^{\prime \prime }=2$ 이므로 공식 3에 따라 직접 대입하면 다음과 같습니다.
$$\kappa (x)=\frac{\left|y^{\prime \prime }\right|}{{[1+{\left(y^{\prime }\right)}^2]}^{3/2}}=\frac{2}{{(1+4x^2)}^{3/2}}$$
매개변수는 $x$ 그 자체이므로 $(0,0)$ 에서의 곡률은 $\kappa (0)=2$ 입니다.

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수고하셨습니다.
다음 게시물에는 비틀림율에 대해 알아보겠습니다.
 
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