목차
1. 호의 길이
2. 호의 길이 함수
3. 매개변수화
4. 곡률
5. 예제
증명이나 해설은 더보기를 눌러 확인할 수 있습니다! 꼭 한번씩 보시기 바랍니다.
호의 길이 (Arc length)
호의 길이는 말 그대로 특정 공간에서 곡선의 길이를 의미합니다.
사실 이 내용은 새로운 내용은 아니고
이미 평면에서의 곡선에 대한 호의 길이는 미분적분학 (1)에서 이미 배웠습니다.
Thm. 2차원 평면에서 호의 길이
$f^{\prime}$ 과 $g^{\prime}$ 이 연속이고 각 매개변수방정식이 $x=f(t), y=g(t), a \leq t \leq b$ 이면
평면곡선의 길이는, 다음과 같다.
$$L=\int_a^b \sqrt{\left[f^{\prime}(t)\right]^2+\left[g^{\prime}(t)\right]^2} d t=\int_a^b \sqrt{\left(\frac{d x}{d t}\right)^2+\left(\frac{d y}{d t}\right)^2} d t$$
3차원 평면, 즉 공간에서의 호의 길이도 위 식과 별반 다르지 않습니다.
그냥 차원만 확장시킨 것 뿐입니다! 이를 앞에서 배운 벡터함수와 연관지어서 쓸 수 있습니다.
Thm. 3차원 평면에서 호의 길이
곡선의 벡터방정식이 $\mathbf{r}(t)=\langle f(t), g(t), h(t)\rangle, a \leq t \leq b$ 이라 하자.
또는 매개변수방정식 $x=f(t), y$ $=g(t), z=h(t)$ 이고 $f^{\prime}, g^{\prime}, h^{\prime}$ 이 연속이라 하자.
(위 두개는 같은 말입니다.)
$t$ 가 $a$ 에서 $b$ 까지 증가함에 따라 곡선의 궤적이 유일하다면, 호의 길이는 아래와 같다.
$$
\begin{aligned}
L & =\int_a^b \sqrt{\left[f^{\prime}(t)\right]^2+\left[g^{\prime}(t)\right]^2+\left[h^{\prime}(t)\right]^2} d t \\
& =\int_a^b \sqrt{\left(\frac{d x}{d t}\right)^2+\left(\frac{d y}{d t}\right)^2+\left(\frac{d z}{d t}\right)^2} d t
\end{aligned}
$$
즉,
$$
L=\int_a^b\left|\mathbf{r}^{\prime}(t)\right| d t
$$
< 증명 >
평면곡선 $\mathbf{r}(t)=f(t) \mathbf{i}+g(t) \mathbf{j}$ 으로부터 벡터의 크기의 정의에 의해 다음과 같습니다.
$$
\left|\mathbf{r}^{\prime}(t)\right|=\left|f^{\prime}(t) \mathbf{i}+g^{\prime}(t) \mathbf{j}\right|=\sqrt{\left[f^{\prime}(t)\right]^2+\left[g^{\prime}(t)\right]^2}
$$
마찬가지로 공간곡선 $\mathbf{r}(t)=f(t) \mathbf{i}+g(t) \mathbf{j}+h(t) \mathbf{k}$ 으로부터 벡터의 크기의 정의에 의해 다음과 같습니다.
$$
\left|\mathbf{r}^{\prime}(t)\right|=\left|f^{\prime}(t) \mathbf{i}+g^{\prime}(t) \mathbf{j}+h^{\prime}(t) \mathbf{k}\right|=\sqrt{\left[f^{\prime}(t)\right]^2+\left[g^{\prime}(t)\right]^2+\left[h^{\prime}(t)\right]^2}
$$
매개변수화
일반적인 곡선 또는 벡터함수는 매개변수로 여러 개를 사용할 수 있습니다. (바꿀 수 있다는 뜻입니다.)
이때 어떤 형태의 매개변수를 사용하는지와는 관계없이 호의 길이는 일정합니다.
이렇게 곡선의 매개변수를 바꾸는 과정을 매개변수화(parametrization)라고 합니다.
중요한 것은 매개변수를 바꾸면 해당하는 정의역 역시 따라서 변한다는 것입니다.
Ex. 매개변수화(parametrization)
$$
\mathbf{r}_1(t)=\left\langle t, t^2, t^3\right\rangle, \quad 1 \leq t \leq 2
$$
이를 $t$ 와 $u$ 에 대해서 $t=e^u$라고 정의하고 $u$에 대해 매개변수화 하면
다음과 같이 나타낼 수 있습니다.
$$
\mathbf{r}_2(u)=\left\langle e^u, e^{2 u}, e^{3 u}\right\rangle, \quad 0 \leq u \leq \ln 2
$$
앞서 말했지만 정의역의 변화가 정말 중요합니다.
호의 길이를 구할 때도 해당 정의역을 사용해야 합니다.
호의 길이 함수(Arc length function)
특정 시점을 정하고 그 시점으로부터 매개변수 값이 변할 때 곡선의 길이를 치역으로 둔 함수를 호의 길이함수(arc length function) 라고 합니다.
위 그림을 참조하면 호의 길이 함수 $s(t)$는, 곡선 $C$ 의 $\mathbf{r}(a)$ 와 $\mathbf{r}(t)$ 사이의 길이입니다.
즉, 시점 $\mathbf{r}(a)$ 부터 시작하여 $\mathbf{r}(t)$ 까지의 길이를 함수로 표현한 것입니다.
Def. 호의 길이 함수(Arc length function) $s$
$$ s(t)=\int_a^t\left|\mathbf{r}^{\prime}(u)\right| d u=\int_a^t \sqrt{\left(\frac{d x}{d u}\right)^2+\left(\frac{d y}{d u}\right)^2+\left(\frac{d z}{d u}\right)^2} d u$$
또한 양변을 미분하면
$$
\frac{d s}{d t}=\left|\mathbf{r}^{\prime}(t)\right|
$$
처음 배울때 조심해야 하는 것이 함수의 정의역($t$)과 곡선을 정의할 때 사용하는 매개변수($u$)가 다르다는 점입니다. 엄연히 다른 변수이므로 다르게 적용해야 합니다.
만약 같은 변수를 사용할 경우 수학적 오류가 발생합니다.
호의 길이는 특정한 좌표계나 매개변수화에 죄우되지 않고 곡선의 모양에 따라
자연스럽게 생기는 것이므로, 곡선을 호의 길이에 관해 매개변수화하는 문제가 자주 나옵니다.
곡선 $\mathbf{r}(t)$ 가 이미 매개변수 $t$ 에 관헤 주어져 있고 $s(t)$ 를 구할 수 있다면, $t$ 를 $s$ 에 관한 함수 즉, $t(s)$ 를 구하여 벡터함수를 쓸 수 있습니다.
그러면 곡선은 $t$ 를 대입함으로써 $\mathbf{r}=\mathbf{r}(t(s))$ 와 같이 다시 $s$ 에 관해서 매개변수화됩니다.
예를 들어 $s=3$ 이면 $\mathbf{r}(t(3))$ 은 시점에서 곡선을 따라 길이가 3만큼 떨어져 있는 점의 위치벡터입니다.
말이 어려운데,
쉽게 설명하자면 우리가 처음 벡터함수를 정의할 때 매개변수를 $t$를 사용했습니다.
이 매개변수 $t$ 를 곡선의 길이 $s$ 로 바꾼다고 생각하시면 됩니다. 즉 $s$를 정의역으로 바꾸겠다는 것입니다.
Tip. 길이에 대한 매개변수화
1. 호의길이 함수를 미분하여 $t$와 $s$에 대한 관계식을 구한다.
2. $t(s) = /// $ 로 나타낸다.
3. $\mathbf{r}(t)$에서 원래 $t$ 자리 대신 $ /// $ 를 넣는다.
예제에서 해당 내용이 나오니 꼭 봐주세요.
곡률(Curvature)
이제 12단원에서 제일 어렵고 복잡하고 더러운 내용인 곡률과 비틀림율을 알아볼 차례입니다.
이번 게시물에는 곡률만 볼 예정입니다.
정말 계산이 더럽고 외울 게 많아서 사실 어떻게 보면 암기 파트라고 봐도 무방합니다.
참고로 이 내용을 이해하려면 저번 시간에 배운 단위접선벡터(unit tangent vector)를 정확히 알아야 합니다.
2024.08.30 - [기초공학과목/미분적분학(2)] - [미분적분학(2) 개념 정리] 12.2 벡터함수의 도함수와 적분(Derivatives and Integrals of Vector Functions)
곡률의 국어적 정의는 "곡선이 길이에 따라 방향을 얼마나 빨리 바꾸느냐" 입니다.
다만 이때 곡선이 "시간($t$)에 따라"가 아니라, "길이($s$)에 따라"가 중심이 되는 것에 주목해야 합니다.
수학적으로, 곡률은 호의 길이($s$)에 대한 단위접선벡터($T$)의 변화율의 크기로 정의됩니다.
호의 길이는 말 그대로 길이이고, 단위접선벡터는 크기가 고정되었으므로 접선 방향만을 나타내기에 곡률을 정의할 수 있는 겁니다.
Def. 곡률(Curvatre)
단위접선벡터 $\mathbf{T}$ 에 대해 곡선의 곡률(curvature)을 다음과 같이 정의한다.
$$
\kappa=\left|\frac{d \mathbf{T}}{d s}\right|
$$
물론 위 식에는 벡터가 들어가 있기 때문에 시험에서 이 정의를 토대로 계산하지는 않습니다.
상황이 여러 개가 있는데, 크게 3가지 공식이 있습니다.
Thm. 곡률 1 ($\mathbf{T}(t)$와 $\mathbf{r}(t)$ 를 알 때 or $\mathbf{r}(t)$만을 알 때, 제일 많이 씀)
$$
\kappa(t)=\frac{\left|\mathbf{T}^{\prime}(t)\right|}{\left|\mathbf{r}^{\prime}(t)\right|}
$$
Thm. 곡률 2 ($\mathbf{r}(t)$만을 알 때, $\mathbf{r}(t)$의 형태에 따라 가끔 쓰임)
$$
\kappa(t)=\frac{\left|\mathbf{r}^{\prime}(t) \times \mathbf{r}^{\prime \prime}(t)\right|}{\left|\mathbf{r}^{\prime}(t)\right|^3}
$$
Thm. 곡률 3 ($y=f(x)$ 꼴로 주어져 있을 때)
$$\kappa(x)=\frac{\left|f^{\prime \prime}(x)\right|}{\left[1+\left(f^{\prime}(x)\right)^2\right]^{3 / 2}}$$
$\left|\mathbf{r}^{\prime}(t)\right|$ 같은건 그냥 벡터의 크기를 계산하시면 됩니다.
보셔서 아시겠지만 식이 정말 더럽습니다.
먼저 각 공식의 증명은 아래와 같습니다.
<공식 1>
매개변수가 $s$ 대신에 $t$ 로 표현하게 되면, 연쇄법칙을 이용해서 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
$$
\frac{d \mathbf{T}}{d t}=\frac{d \mathbf{T}}{d s} \frac{d s}{d t} \quad \Longrightarrow \quad \kappa=\left|\frac{d \mathbf{T}}{d s}\right|=\left|\frac{d \mathbf{T} / d t}{d s / d t}\right|
$$
이때 호의 길이함수 정의로부터 $d s / d t=\left|\mathbf{r}^{\prime}(t)\right|$ 를 얻을 수 있고 이를 대입하면 위 공식이 나옵니다.
<공식 2>
$\mathbf{T}=\mathbf{r}^{\prime} /\left|\mathbf{r}^{\prime}\right|$ 이고, $\left|\mathbf{r}^{\prime}\right|=d s / d t$ 이므로 다음과 같습니다.
$$
\mathbf{r}^{\prime}=\left|\mathbf{r}^{\prime}\right| \mathbf{T}=\frac{d s}{d t} \mathbf{T}
$$
그러므로 12.2절에서 배운 내용을 활용하면 다음과 같습니다.
$$
\mathbf{r}^{\prime \prime}=\frac{d^2 s}{d t^2} \mathbf{T}+\frac{d s}{d t} \mathbf{T}^{\prime}
$$
이때 $\mathbf{T} \times \mathbf{T}=\mathbf{0}$ (외적의 성질) 이므로,
$$
\mathbf{r}^{\prime} \times \mathbf{r}^{\prime \prime}=\left(\frac{d s}{d t}\right)^2\left(\mathbf{T} \times \mathbf{T}^{\prime}\right)
$$
그런데 단위접선벡터의 정의에서 모든 $t$ 에 대해 $|\mathbf{T}(t)|=1$ 이므로,
12.2절에서 배운 벡터함수의 성질에 따라 $\mathbf{T}$ 와 $\mathbf{T}^{\prime}$ 은 직교합니다.
따라서 외적의 크기를 계산하면
$$
\left|\mathbf{r}^{\prime} \times \mathbf{r}^{\prime \prime}\right|=\left(\frac{d s}{d t}\right)^2\left|\mathbf{T} \times \mathbf{T}^{\prime}\right|=\left(\frac{d s}{d t}\right)^2|\mathbf{T}|\left|\mathbf{T}^{\prime}\right|=\left(\frac{d s}{d t}\right)^2\left|\mathbf{T}^{\prime}\right|
$$
이고, 적절히 정리하면 다음과 같습니다.
$$
\begin{aligned}
\left|\mathbf{T}^{\prime}\right| & =\frac{\left|\mathbf{r}^{\prime} \times \mathbf{r}^{\prime \prime}\right|}{(d s / d t)^2}=\frac{\left|\mathbf{r}^{\prime} \times \mathbf{r}^{\prime \prime}\right|}{\left|\mathbf{r}^{\prime}\right|^2} \\
\kappa & =\frac{\left|\mathbf{T}^{\prime}\right|}{\left|\mathbf{r}^{\prime}\right|}=\frac{\left|\mathbf{r}^{\prime} \times \mathbf{r}^{\prime \prime}\right|}{\left|\mathbf{r}^{\prime}\right|^3}
\end{aligned}
$$
<공식 3>
방정식이 $y=f(x)$ 인 평면곡선의 경우 $x$ 를 매개변수로 택해야 합니다.
이때 벡터의 정의에 의해 $\mathbf{r}(x)=$ $x \mathbf{i}+f(x) \mathbf{j}$ 로 쓸 수 있습니다.
벡터함수를 미분하면 $\mathbf{r}^{\prime}(x)=\mathbf{i}+f^{\prime}(x) \mathbf{j}, \mathbf{r}^{\prime \prime}(x)=f^{\prime \prime}(x) \mathbf{j}$ 이고
$\mathbf{i} \times \mathbf{j}=\mathbf{k}, \mathbf{j} \times \mathbf{j}=\mathbf{0}$ 이므로
$\mathbf{r}^{\prime}(x) \times \mathbf{r}^{\prime \prime}(x)=f^{\prime \prime}(x) \mathbf{k}$ 를 얻을 수 있습니다.
또한 벡터의 크기의 정의에 따라 $\left|\mathbf{r}^{\prime}(x)\right|=\sqrt{1+\left[f^{\prime}(x)\right]^2}$ 이므로 다음과 같습니다. (공식 2 사용)
$$
\kappa(x)=\frac{\left|f^{\prime \prime}(x)\right|}{\left[1+\left(f^{\prime}(x)\right)^2\right]^{3 / 2}}
$$
필요한 상황에 맞게 식을 적절히 사용하셔서 계산하시면 됩니다.
뒤의 예제에서 공식을 한 번씩 사용해 보았습니다.
예제
P1. 호의 길이 (Arc length)
점 $(1,0,0)$ 에서 점 $(1,0,2 \pi)$ 까지 벡터방정식이 $\mathbf{r}(t)=\cos t \mathbf{i}+\sin 1 \mathbf{j}+\mathbf{k}$ 인 원형나선의 호의 길이를 구하시오.
$\mathbf{r}^{\prime}(t)=-\sin t \mathbf{i}+\cos t \mathbf{j}+\mathbf{k}$ 이므로
$$
\left|\mathbf{r}^{\prime}(t)\right|=\sqrt{(-\sin t)^2+\cos ^2 t+1}=\sqrt{2}
$$
입니다.
$(1,0,0)$ 에서 $(1,0,2 \pi)$ 까지의 호는 매개변수 구간이 $0 \leq t \leq 2 \pi$ 로 표현되므로,
호의 길이 공식을 그대로 사용하면
$$
L=\int_0^{2 \pi}\left|\mathbf{r}^{\prime}(t)\right| d t=\int_0^{2 \pi} \sqrt{2} d t=2 \sqrt{2} \pi
$$
P2. 길이 $s$에 대해 매개변수화(parametrization)
나선 $\mathbf{r}(t)=\cos t \mathbf{i}+\sin t \mathbf{j}+t \mathbf{k}$ 를 시점 $(1,0,0)$ 으로부터 $t$ 가 증가하는 방향으로 측정한 호의 길이에 관해 다시 매개변수화하라.
Tip. 길이에 대한 매개변수화
1. 호의길이 함수를 미분하여 $t$와 $s$에 대한 관계식을 구한다.
2. $t(s) = /// $ 로 나타낸다.
3. $\mathbf{r}(t)$에서 원래 $t$ 자리 대신 $ /// $ 를 넣는다.
시점 $(1,0,0)$ 은 유일하게 매개변숫값 $t=0$ 에 해당합니다.
먼저 호의 길이 함수를 계산합니다.
$$
\frac{d s}{d t}=\left|\mathbf{r}^{\prime}(t)\right|=\sqrt{2}
$$
따라서 $s$와 $t$에 대한 관계식은 다음과 같습니다.
$$
s=s(t)=\int_0^t\left|\mathbf{r}^{\prime}(u)\right| d u=\int_0^t \sqrt{2} d u=\sqrt{2} t
$$
그러므로 $t=s / \sqrt{2}$ 이고, $t$ 대신 $s$ 를 사용하면 (위 Tip을 참고하세요)
$$
\mathbf{r}(t(s))=\cos (s / \sqrt{2}) \mathbf{i}+\sin (s / \sqrt{2}) \mathbf{j}+(s / \sqrt{2}) \mathbf{k}
$$
P3. 곡률(Curavature)
반지름 $a$ 인 원의 곡률이 $1 / a$ 임을 보여라.
(Hint : $\mathbf{r}(t)=a \cos t \mathbf{i}+a \sin t \mathbf{j}$ 를 사용할 것)
중심이 원점인 원을 일반성을 잃지 않고 골라 봅시다. 이때 매개변수화는 다음과 같습니니다.
$$
\mathbf{r}(t)=a \cos t \mathbf{i}+a \sin t \mathbf{j}
$$
곡률을 구하려면 $\mathbf{T}^{\prime}(t)$와 $\mathbf{r}^{\prime}(t)$의 크기가 필요합니다.
먼저 $\mathbf{r}^{\prime}(t)=-a \sin t \mathbf{i}+a \cos t \mathbf{j}$ 이고 $\left|\mathbf{r}^{\prime}(t)\right|=a$ 입니다.
이제 $\mathbf{T}^{\prime}(t)$를 구하면, 단위접선벡터의 정의에 의해
$$
\begin{gathered}
\mathbf{T}(t)=\frac{\mathbf{r}^{\prime}(t)}{\left|\mathbf{r}^{\prime}(t)\right|}=-\sin t \mathbf{i}+\cos t \mathbf{j} \\
\mathbf{T}^{\prime}(t)=-\cos t \mathbf{i}-\sin t \mathbf{j}
\end{gathered}
$$
입니다.
이것으로부터 $\left|\mathbf{T}^{\prime}(t)\right|=1$ 이므로 곡률의 공식 1에 의해
$$
\kappa(t)=\frac{\left|\mathbf{T}^{\prime}(t)\right|}{\left|\mathbf{r}^{\prime}(t)\right|}=\frac{1}{a}
$$
P4. 곡률(Curavature)
임의의 점과 $(0,0,0)$ 에서 비틀린 삼차곡선 $\mathbf{r}(t)=\left\langle t, t^2, t^3\right\rangle$ 의 곡률을 구하라.
공식 2를 사용합시다. 필요한 요소는 $\left|\mathbf{r}^{\prime}(t) \times \mathbf{r}^{\prime \prime}(t)\right|$ 와 $\left|\mathbf{r}^{\prime}(t)\right|$ 입니다.
차례로 구해보면 (매우 복잡합니다.)
$$
\begin{aligned}
\mathbf{r}^{\prime}(t) & =\left\langle 1,2 t, 3 t^2\right\rangle \quad \mathbf{r}^{\prime \prime}(t)=\langle 0,2,6 t\rangle \\
\left|\mathbf{r}^{\prime}(t)\right| & =\sqrt{1+4 t^2+9 t^4} \\
\mathbf{r}^{\prime}(t) \times \mathbf{r}^{\prime \prime}(t) & =\left|\begin{array}{ccc}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
1 & 2 t & 3 t^2 \\
0 & 2 & 6 t
\end{array}\right|=6 t^2 \mathbf{i}-6 t \mathbf{j}+2 \mathbf{k} \\
\left|\mathbf{r}^{\prime}(t) \times \mathbf{r}^{\prime \prime}(t)\right| & =\sqrt{36 t^4+36 t^2+4}=2 \sqrt{9 t^4+9 t^2+1}
\end{aligned}
$$
공식 2를 사용하면 곡률은 다음과 같습니다.
$$
\kappa(t)=\frac{\left|\mathbf{r}^{\prime}(t) \times \mathbf{r}^{\prime \prime}(t)\right|}{\left|\mathbf{r}^{\prime}(t)\right|^3}=\frac{2 \sqrt{1+9 t^2+9 t^4}}{\left(1+4 t^2+9 t^4\right)^{3 / 2}}
$$
따라서 매개변수는 $t=0$으로 유일합니다. 이때, 원점에서의 곡률은 $\boldsymbol{\kappa}(0)=2$ 입니다.
P5. 곡률(Curavature)
점 $(0,0)$ 에서 포물선 $y=x^2$ 의 곡률을 구하라.
$y=f(x)$ 꼴이므로 공식 3을 사용합시다.
$y^{\prime}=2 x, y^{\prime \prime}=2$ 이므로 공식 3에 따라 직접 대입하면 다음과 같습니다.
$$
\kappa(x)=\frac{\left|y^{\prime \prime}\right|}{\left[1+\left(y^{\prime}\right)^2\right]^{3 / 2}}=\frac{2}{\left(1+4 x^2\right)^{3 / 2}}
$$
매개변수는 $x$ 그 자체이므로 $(0,0)$ 에서의 곡률은 $\kappa(0)=2$ 입니다.
수고하셨습니다.
다음 게시물에는 비틀림율에 대해 알아보겠습니다.
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