[미분적분학(2) 개념 정리] 11.6 주면과 이차곡면 (Cylinders and Quadric Surfaces)

목차

1. 주면(Cylinders)

주면

2. 이차곡면(Quadric Surfaces)

이차곡면

 

증명이나 해설은 더보기를 눌러 확인할 수 있습니다! 꼭 한번씩 보시기 바랍니다.

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시작하기 전에

미분적분학을 공부하러 오신 분들 환영합니다!
저는 대학에 다니고 있는 대학생으로, 제가 공부했던 여러 학문 분야들의 내용을 정리하여 새로이 배우는 분들에게 더 쉬운 이해를 주고자 게시글을 작성하게 되었습니다!
대학과목 특성상 자료도 찾기 쉽지 않고 어렵기에 저도 공부하는데 많이 힘들었었는데, 다양한 예시와 그림들, 그리고 문제들과 설명을 통해 많은 내용을 전달하고자 합니다. 대학생 분들에게 많은 도움이 되었으면 좋겠습니다.

오늘은 주면과 이차곡면 (Cylinders and Quadric Surfaces)에 대해 알아보고자 합니다. Stewart 미분적분학 9E판을 참고하여 작성하였습니다. (CENGAGE 출판사)

*설명은 한국어와 영어 표현을 모두 사용합니다. 문제 역시 모두 사용하였습니다.

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주면(Cylinders)

오늘 배울 주면과 이차곡면은 그렇게 엄청나게 중요하지는 않습니다. 그래도, 한 번 같이 해봅시다.

 

앞서 11.5절에서는 평면, 11.1절에서는 구면과 같은 두 종류의 특별한 곡면을 살펴 봤었습니다.

이제 이 절에서는 다른 두 종류의 곡면인 주면과 이차곡면을 살펴보겠습니다.

보통 곡면의 그래프를 그리기 위해서 곡면이 좌표평면에 평행인 평면과 만나는 곡면 의 교선을 결정하는 것이 유용합니다. 이런 곡선을 그 곡면의 자취(trace) 또는 단면 (cross-section)이라 합니다.

주면(Cylinders)

이제 주면의 정의를 살펴보겠습니다.

Def. 주면(Cylinders)

주면(cylinder)은 주어진 평면곡선을 지나고 주어진 직선과 평행인 모든 직선(모선) 으로 이루어진 곡면이다.

쉽게 말해,곡면의 방정식에 $x,y,z$중에 하나가 없는 곡면을 말합니다.

 

예제를 풀어보면서 감을 잡아봅시다.

P1)

곡면 $z=x^2$ 의 그래프를 그려라.

P1_주면

그래프의 방정식 $z=x^2$ 인 곡선에는 $y$ 가 포함되어 있지 않으므로,

이는 방정식 $y=k$ $(xz$ 평면에 평행)인 임의의 수직평면이 방정식 $z=x^2$ 인 곡선에서 그래프와 교차함을 의미합니다. (그림을 참조하세요!)

따라서 이들 수직자취는 포물선이 됩니다.

 

그림을 통해 $xz$ 평면에서 포물선 $z=x^2$ 을 택하고 $y$ 축 방향으로 이동함으로써 그래프가 어떻게 형성되는지 알 수 있습니다.

cf) 이 그래프 는 포물 주면(parabolic cylinder)이라는 곡면으로 동일한 모양의 포물선을 무수히 많이 복사해서 이동시킴으로써 얻어집니다. 여기서 주면의 모선은 $y$ 축에 평행입니다.

개념을 정의할 때도 설명했듯이 눈치채셨겠지만, 주면의 방정식에 변수 $y$ 가 빠져 있습니다.

(이 예제는 곡면의 모선이 하나의 좌표축과 평행인 대표적인 예입니다.)

다시 한번 말씀드리지만, 변수 $x,y,z$ 중 하나가 방정식에 나타나 있지 않으면, 곡면은 주면이 됩니다.

P2)

다음 곡면을 설명하고 그림을 그려라.
(a) $x^2+y^2=1$
(b) $y^2+z^2=1$

Sol.

P2, (a)

(a) $z$ 가 나타나 있지 않으므로 방정식 $x^2+y^2=1$ 과 $z=k$ 는 임의의 평면 $z=k$ 에서 반지름이 $1$인 원을 나타냅니다.

따라서, 곡면 $x^2+y^2=1$ 은 중심축이 $z$ 축인 원기둥입니다. (여기시 모선은 수직인 직선들입니다. 즉, $z$축과 평행)

P2, (b)

(b) 이 경우에는 $x$ 가 나타나지 않았습니다.

따라서 곡면은 중심축이 $x$ 축인 원기둥입니다.

이것은 $yz$ 평면에서 원 $y^2+z^2=1,x=0$ 을 x$ 축에 펑헹하게 이동하면 알 수 있습니다.

* 위 문제를 풀면서 알수 있듯이 곡면을 다룰 때 $x^2+y^2=1$ 과 같은 방정식은 원이 아니라 주면을 나타낸다는 것을 알아야 합니다.

* $xy$ 평면에서 주면 $x^2+y^2=1$ 의 자취는 방정식이 $x^2+y^2=$ $1,z=0$ 인 원입니다.

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이차곡면(Quadric Surfaces)

이차곡면은, 앞에서 주면이 변수가 2개였던 것과 달리 3개를 모두 가지고 있는 곡면을 의미합니다.

Def. 이차곡면(quadric surface)

이차곡면(quadric surface)은 세 변수 $x,y,z$ 에 관한 이차방정식의 그래프이다.

이차곡면 방정식의 가장 일반적인 형태는 $A,B,C,\dots ,J$ 가 상수일 때 다음과 같다.
$$A{x}^2+B{y}^2+C{z}^2+Dxy+Eyz+Fxz+Gx+Hy+Iz+J=0$$
cf) 표준형은 다음과 같다.
$$A{x}^2+B{y}^2+C{z}^2+J=0\text{ 또는 }A{x}^2+B{y}^2+Iz=0$$

 

책에는 워낙 복잡하게 이것저것 나열되어 있는데, 나열식으로 하면 안 외워질 것 같아

제가 공부했을 때 표를 하나 만들었습니다.

이 그림 하나만 외우시면 됩니다.

(영어 명칭도 써놨습니다!)

이차곡면(Quadric Surfaces)

자취를 통해 곡면을 그리는 문제를 하나만 풀어보고 마무리합시다.

다른 곡면들도 다 똑같이 풀면 됩니다.

 

P3)

자취를 이용해서 다음 방정식으로 주어지는 이차곡면의 그래프를 그리시오.

 

$$x^2+\frac{y^2}{9}+\frac{z^2}{4}=1$$

Sol.

$z=0$ 을 대입하면 $xy$ 평면에서의 자취가 $x^2+y^2/9=1$ 이 되고, 이는 타원의 방정식입니다.

(약간의 직관이 필요합니다. 자취가 깔끔히 떨어지도록 대입해봅시다!)

 

따라서 일반적으로 임의의 평면 $z=k$ 에서 수평자취는 다음과 같습니다.
$$x^2+\frac{y^2}{9}=1-\frac{k^2}{4},z=k$$

이는 $k^2<4$, 즉 $-2<k<2$ 일 때 타원이 됩니다.(타원의 형성조건)

(또한 $|k|=2$ 이면 자취는 한 점이고 $|k|>2$ 이면 자취는 존재하지 않습니다.)

마찬가지로 수직자취도 다음과 같이 타원으로 나타낼 수 있습니다.
$$\begin{array}{lll}\frac{y^2}{9}+\frac{z^2}{4}=1-k^2,& x=k& (-1<k<1)\\ x^2+\frac{z^2}{4}=1-\frac{k^2}{9},& y=k& (-3<k<3)\end{array}$$

 

이를 기반으로 그림을 그리면,

ellipsoid(타원면)

ellipsoid(타원면)임을 알 수 있습니다.

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수고하셨습니다. 이렇게 11단원이 끝났습니다.

다음 차시부터는 12단원, 벡터함수가 시작됩니다.

갈수록 어려워지니 화이팅 합시다!

 

 

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