[미분적분학(2) 개념 정리] 12.3 (2) 단위법선벡터, 종법선벡터, 곡률원, 비틀림율 (principal unit normal vector, binomal vector, Circle of curvature, torsion)

 

 

목차

1. 주단위법선벡터 $\mathbf{N}$, 종법선벡터 $\mathbf{B}$
2. 곡률원
3. 비틀림율(torsion)
4. 예제

증명이나 해설은 더보기를 눌러 확인할 수 있습니다! 꼭 한번씩 보시기 바랍니다.

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주단위법선벡터(principal unit normal vector), 종법선벡터(binomal vector)

단위접선벡터, 단위법선벡터, 종법선벡터

 
저번 게시물에서 "곡률 $\kappa$"을 정의할 때 사용되었던 단위접선벡터 $\mathbf{T}$, 기억하시나요?

Def. 단위접선벡터(unit tangent vector)

접선벡터와 방향이 같은 단위 벡터를 단위접선벡터 $\mathbf{T}$ (unit tangent vector T)라고 하며 다음과 같이 정의한다.
$$\mathbf{T}(t)=\frac{{\mathbf{r}}^{\prime }(t)}{|{\mathbf{r}}^{\prime }(t)|}$$

 
이번 게시물에서는 단위접선벡터를 이용하여 주단위법선벡터 $\mathbf{N}$, 종법선벡터 $\mathbf{B}$ 를 알아보고자 합니다.
 
첫 번째로 단위법선벡터 $\mathbf{N}$는 말 그대로 곡선의 접선에 대해 직각인 방향의 단위벡터입니다.
즉, 크기가 1이고 방향은 접선방향과 수직인 방향인 것입니다.
수학적으로는 다음과 같이 정의됩니다.

Def. 단위법선벡터(unit normal vector)

곡선의 접선에 대해 직각인 방향의 단위벡터인 단위법선벡터의 정의는 아래와 같다.

$$\mathbf{N}(t)=\frac{{\mathbf{T}}^{\prime }(t)}{|{\mathbf{T}}^{\prime }(t)|}$$

 
두 번째로 종법선벡터 $\mathbf{B}$는, 단위접선벡터 $\mathbf{T}$와 단위법선벡터 $\mathbf{N}$에 모두 수직방향인 단위벡터를 의미합니다.
외적을 배울 때도 언급되었던 성질 중 하나로, 두 벡터에 모두 수직인 벡터를 구하려면 벡터를 외적하면 됩니다.

Def. 종법선벡터(binormal vector)

단위접선벡터 $\mathbf{T}$와 단위법선벡터 $\mathbf{N}$에 모두 수직방향인 벡터를 종법선벡터라 한다.

$$\mathbf{B}(t)=\mathbf{T}(t)\times \mathbf{N}(t)$$

 
당연하겠지만 "단위"법선벡터에서 알 수 있듯 단위법선벡터 $\mathbf{N}$의 크기는 1입니다.
또한 종법선벡터 역시 크기가 1인 벡터를 외적하였으므로 종법선벡터 $\mathbf{B}$의 크기도 1입니다.
 
이걸 왜 정의했냐면, 뒤에 비틀림율(torsion)을 정의할 때 사용할 것이기 때문입니다.

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법평면 접촉평면

앞에서 다룬 3개의 벡터 $\mathbf{T}$, $\mathbf{N}$, $\mathbf{B}$를 생각해 봅시다.
이때 위 그림처럼 벡터 두개씩을 묶어서 평면을 만들 수 있습니다.
이 평면들은 중요한 평면으로, 불리는 이름이 있습니다.

Def. 법평면(normal plane)

곡선 $C$ 위의 점 $P$ 에서 법선벡터 $\mathbf{N}$ 과 종법선벡터 $\mathbf{B}$ 에 의해 결정되는 평면을 $P$ 에서 $C$ 의 법평면(normal plane)이라 한다.

Def. 접촉평면(osculating palne)

벡터 $\mathbf{T}$ 와 $\mathbf{N}$ 에 의해 결정되는 평면을 $P$ 에서 $C$ 의 접촉평면(osculating plane)이라 한다.

 
평면의 방정식을 구하는 방법은 아래 포스팅을 참조하시기 바랍니다.
2024.08.11 - [기초공학과목/미분적분학(2)] - [미분적분학(2) 개념 정리] 11.5 (2) 평면의 방정식(equation of the plane)
이미 대부분 아시겠지만 평면에 대한 법선벡터, 그리고 한 점만 알면 구할 수 있습니다.

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곡률원(Circle of curvature)

곡률원

전 게시물에서 배운 곡률(Curvature, $\kappa$)를 사용하여 곡률원을 정의할 수 있습니다.

Def. 곡률원(circle of curvature) 또는 접촉원(osculating circle)

임의의 점 $P$ 에서 곡선 $C$ 의 곡률원(circle of curvature) 또는 접촉원(osculating circle)은 다음과 같다.

 

단위법선벡터방향으로 벡터 $\mathbf{N}$ 을 따라서 $P$ 로부터 $1/\kappa$ 떨어진 거리에 중심이 있으며

반지름이 $1/\kappa$ 이고 $P$ 를 지나는 접촉평면에 있는 원

 

이때 원의 중심을 $P$ 에서 $C$ 의 곡률중심(center of curvature)이라 한다.

 
쉽게 풀어서 말해보자면, 곡선 위의 한 점에서 원을 그린다고 생각해봅시다.
방향은 단위법선벡터 방향 $\mathbf{N}$, 반지름은 $1/\kappa$ 인 원을 그린다고 생각하시면 됩니다.
조심해야 할 점이 반지름 $r$이 곡률의 역수라는 점입니다.
이 점을 유의하시고 문제를 적절히 푸시면 됩니다.
 
*곡률원의 중심이 곡선 위의 점이 아니라는 것을 기억하세요!
 

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비틀림율(Torsion)

비틀림율

곡률의 정의에서도 알아봤었지만, 곡선 $C$ 의 점 $P$ 에서 곡률 $\kappa =|d\mathbf{T}/ds|$ 은 곡선의 굽은 정도를 나타냅니다.
반대로 비틀림율은 방향이 비틀어지는 정도를 나타냅니다.

말로 설명하기 정말 어렵지만, 최대한 쉽게 설명하자면
곡률은 곡선이 나아가는 방향을 생각했다면, 비틀림율은 곡선의 위아래로 비틀어지는, 즉 $z$축 방향으로의 비틀림을 생각하시면 됩니다. 위 사진에서도 알 수 있듯 비틀림율이 발생하면 곡선이 $z$방향으로 휘게 됩니다.

아까 배운 벡터 방향중에 종법선벡터 $\mathbf{B}$가 그 방향이었죠.
곡률을 정의할 때도 시간변수 $t$가 아니라 길이함수 변수 $s$를 사용했듯, 비틀림율(torsion)도 같습니다.
곡률과 마찬가지로 빠르게 계산할 수 있는 식 2개를 소개해 드리니 필요에 따라 사용하시면 됩니다.
(거의 모든 경우 벡터로 이루어진 정의(Def)를 사용하기 까다로워서 공식을 사용합니다.)

Def. 비틀림율(Torsion)

$$\tau =-\frac{d\mathbf{B}}{ds}\cdot \mathrm{N}$$

Thm. 비틀림율 공식 1 ( $\mathbf{N}$와 $\mathbf{B}$를 구하기 쉬운 경우)

$$\tau (t)=-\frac{{\mathbf{B}}^{\prime }(t)\cdot \mathbf{N}(t)}{|{\mathbf{r}}^{\prime }(t)|}$$

Thm. 비틀림율 공식 2 ( $\mathbf{r}$만을 사용하는 경우)

$$\tau (t)=\frac{[{\mathbf{r}}^{\prime }(t)\times {\mathbf{r}}^{\prime \prime }(t)]\cdot {\mathbf{r}}^{\prime \prime \prime }(t)}{{|{\mathbf{r}}^{\prime }(t)\times {\mathbf{r}}^{\prime \prime }(t)|}^2}$$

cf) 계산이 정말정말정말 더럽습니다.. 식을 보시면 아시겠지만 내/외적계산에 더불어 삼계도함수도 있습니다.

 
뜬금없이 마이너스랑 $\mathrm{N}$가 왜 나오는지 궁금하실 겁니다.
마이너스 부호는 관습적으로 사용합니다. 사실 양수값이 나오게끔 만들어 주는 장치라고 생각하시면 됩니다.
또한 $\mathrm{N}$가 나오는 이유는 아래 증명과 Tip을 참고하시기 바랍니다.

<증명>

단위벡터들의 성질 중 $d\mathbf{B}/ds$ 가 $\mathbf{N}$ 에 평행임을 알 수 있습니다. 위 그림을 참조하세요
따라서 다음을 만족하는 임의의 상수 $\tau$ 가 존재합니다. (벡터의 평행조건)

$$\frac{d\mathbf{B}}{ds}=-\tau \mathbf{N}$$
이때 $\tau$가 비틀림율(torsion)이라 합니다.
위 식의 각 변을 $\mathbf{N}$로 내적하면, 같은 단위벡터를 내적하면 1이므로
$$\mathbf{N}\cdot \mathbf{N}=1$$
으로부터 위 공식이 증명됩니다.

위 3개의 벡터 $\mathbf{T}$, $\mathbf{N}$, $\mathbf{B}$ 와 관련된 좋은 예시들이 있습니다.
아래 특징들은 참고만 하세요! 시험 때 증명 문제에서 유용하게 사용될 수 있습니다.

Tip. 3개의 벡터 $\mathbf{T}$, $\mathbf{N}$, $\mathbf{B}$의 평행 및 수직

1. $\frac{d\mathbf{B}}{ds}$는 $\mathbf{N}$은 평행, $\mathbf{T}$와 $\mathbf{B}$와는 수직

2. $\frac{d\mathbf{B}}{ds}$는 $\mathbf{N}$은 평행, $\mathbf{T}$와 $\mathbf{B}$와는 수직

3. 각 벡터 $\mathbf{T}$, $\mathbf{N}$, $\mathbf{B}$는 서로에게 수직

수직과 평행조건은 내/외적 시 식을 깔끔하게 만들어주는 역할을 합니다. 특히 Tip 3의 경우 서로 다른 단위벡터를 내적하면 0이 나온다는 사실을 잘 사용하면 증명을 편리하게 할 수 있습니다.

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예제

P1. 다음 원형 나선을 생각하자.
$$\mathbf{r}(t)=\cos t\mathbf{i}+\sin t\mathbf{j}+t\mathbf{k}$$
(1) 단위법선벡터 $\mathbf{N}$와 종법선벡터 $\mathbf{B}$를 구하시오.
(2) 점 $P(0,1,\pi /2)$ 에서의 나선에 대한 법평면(normal plane)과 접촉평면(osculating plane)의 방정식을 구하시오.
(3) 비틀림율(torsion)을 구하시오.

(1) 먼저 단위법선벡터를 구하기 위헤 필요한 성분들을 다음과 같이 연속적으로 계산합니다.
$${\mathbf{r}}^{\prime }(t)=-\sin t\mathbf{i}+\cos t\mathbf{j}+\mathbf{k},|{\mathbf{r}}^{\prime }(t)|=\sqrt{2}$$
$$\begin{array}{rl}& \mathbf{T}(t)=\frac{{\mathbf{r}}^{\prime }(t)}{|{\mathbf{r}}^{\prime }(t)|}=\frac{1}{\sqrt{2}}(-\sin t\mathbf{i}+\cos t\mathbf{j}+\mathbf{k})\\ & {\mathbf{T}}^{\prime }(t)=\frac{1}{\sqrt{2}}(-\cos t\mathbf{i}-\sin t\mathbf{j}),|{\mathbf{T}}^{\prime }(t)|=\frac{1}{\sqrt{2}}\\ & \mathbf{N}(t)=\frac{{\mathbf{T}}^{\prime }(t)}{|{\mathbf{T}}^{\prime }(t)|}=-\cos t\mathbf{i}-\sin t\mathbf{j}=⟨-\cos t,-\sin t,0⟩\end{array}$$

이제 종법선벡터를 구해봅시다.
$$\mathbf{B}(t)=\mathbf{T}(t)\times \mathbf{N}(t)=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{ccc}\mathbf{i}& \mathbf{j}& \mathbf{k}\\ -\sin t& \cos t& 1\\ -\cos t& -\sin t& 0\end{array}\right]=\frac{1}{\sqrt{2}}⟨\sin t,-\cos t,1⟩$$
(2) 점 $P$ 는 $t=\pi /2$ 에 유일히 대응함을 알 수 있습니다.
적당한 매개변수를 찾았으니 계산해봅시다.

1 : 먼저 법평면은 접선방향이 평면의 법선벡터이므로,
평면의 법선벡터 : ${\mathbf{r}}^{\prime }(\pi /2)=⟨-1,0,1⟩$
평면 위의 한 점 : $P(0,1,\pi /2)$

이로써 방정식을 세울 수 있습니다. 법평면의 방정식은
$$-1(x-0)+0(y-1)+1(z-\frac{\pi }{2})=0\text{ 또는 }z=x+\frac{\pi }{2}$$

2 : 접촉평면은 벡터 $\mathbf{T}$ 와 $\mathbf{N}$ 을 포함하므로, 접촉평면에 수직인 법선벡터는 $\mathbf{T}\times$ $\mathrm{N}=\mathrm{B}$ 입니다. (1)에서 계산했으므로 이를 사용하면

$$\mathbf{B}(t)=\frac{1}{\sqrt{2}}⟨\sin t,-\cos t,1⟩,\mathbf{B}\left(\frac{\pi }{2}\right)=⟨\frac{1}{\sqrt{2}},0,\frac{1}{\sqrt{2}}⟩$$

벡터 $⟨1,0,1⟩$ 은 $\mathbf{B}(\pi /2)$ 에 평행이고 따라서 접촉평면에 수직입니다.
(저번에도 언급했지만 평면의 법선벡터나 직선의 방향수는 적절히 상수배가 가능합니다. 깔끔한 숫자를 위해 $\sqrt{2}$를 곱했습니다.)

그러므로 접촉평면의 방정식은 다음과 같습니다.
$$1(x-0)+0(y-1)+1(z-\frac{\pi }{2})=0\text{ 또는 }z=-x+\frac{\pi }{2}$$

 

(3)
위에서 계산한 값들을 사용합시다.
이미 모든 단위벡터들을 구했으니까 그냥 공식 1을 사용하면 됩니다.
$$ds/dt=|{\mathbf{r}}^{\prime }(t)|=\sqrt{2}$$
$$\mathbf{N}(t)=⟨-\cos t,-\sin t,0⟩,\mathbf{B}(t)=(1/\sqrt{2})⟨\sin t,-\cos t,1⟩$$

따라서 ${\mathbf{B}}^{\prime }(t)=(1/\sqrt{2})⟨\cos t,\sin t,0⟩$ 을 사용하면
$$\tau (t)=-\frac{{\mathbf{B}}^{\prime }(t)\cdot \mathbf{N}(t)}{|{\mathbf{r}}^{\prime }(t)|}=-\frac{1}{2}⟨\cos t,\sin t,0⟩\cdot ⟨-\cos t,-\sin t,0⟩=\frac{1}{2}$$
입니다.

P2. 점 $(1,0,1)$ 에서 곡선 $\mathbf{r}(t)=⟨t,\sqrt{2}\ln t,1/t⟩$ 에 대한 단위접선벡터, 단위법 선벡터, 종법선벡터와 곡률을 구하시오.

먼저 가장 기본적인 요소인 $\mathbf{T}$ 와 ${\mathbf{T}}^{\prime }$ 를 구해 봅시다.
$$\begin{array}{rl}{\mathbf{r}}^{\prime }(t)& =⟨1,\sqrt{2}/t,-1/t^2⟩\\ |{\mathbf{r}}^{\prime }(t)|& =\sqrt{1+\frac{2}{t^2}+\frac{1}{t^4}}=\frac{1}{t^2}\sqrt{t^4+2t^2+1}\\ & =\frac{1}{t^2}\sqrt{{(t^2+1)}^2}=\frac{1}{t^2}(t^2+1)(t^2+1>0)\text{ 때문에 }\\ \mathbf{T}(t)& =\frac{{\mathbf{r}}^{\prime }(t)}{|{\mathbf{r}}^{\prime }(t)|}=\frac{t^2}{(t^2+1)}⟨1,\frac{\sqrt{2}}{t},-\frac{1}{t^2}⟩=\frac{1}{(t^2+1)}⟨t^2,\sqrt{2}t,-1⟩\end{array}$$
계산이 복잡하네요. 이어서 ${\mathbf{T}}^{\prime }(t)$를 구하면
$${\mathbf{T}}^{\prime }(t)=\frac{-2t}{{(t^2+1)}^2}⟨t^2,\sqrt{2}t,-1⟩+\frac{1}{(t^2+1)}⟨2t,\sqrt{2},0⟩$$
입니다.
점 $(1,0,1)$ 은 $t=1$ 에 유일하게 대응되므로, 힘들지만 연속적인 계산을 통해 모든 단위벡터값들을 구할 수 있습니다.
$$\begin{array}{rl}& \mathbf{T}(1)=\frac{1}{2}⟨1,\sqrt{2},-1⟩\\ & {\mathbf{T}}^{\prime }(1)=-\frac{1}{2}⟨1,\sqrt{2},-1⟩+\frac{1}{2}⟨2,\sqrt{2},0⟩=\frac{1}{2}⟨1,0,1⟩\\ & \mathbf{N}(1)=\frac{{\mathbf{T}}^{\prime }(1)}{|{\mathbf{T}}^{\prime }(1)|}=\frac{\frac{1}{2}⟨1,0,1⟩}{\frac{1}{2}\sqrt{1+0+1}}=\frac{1}{\sqrt{2}}⟨1,0,1⟩\\ & \mathbf{B}(1)=\mathbf{T}(1)\times \mathbf{N}(1)=\frac{1}{2\sqrt{2}}⟨\sqrt{2},-2,-\sqrt{2}⟩=\frac{1}{2}⟨1,-\sqrt{2},-1⟩\end{array}$$
또한 곡률의 공식 1에 의해
$$\kappa (1)=\frac{|{\mathbf{T}}^{\prime }(1)|}{|{\mathbf{r}}^{\prime }(1)|}=\frac{\sqrt{2}/2}{2}=\frac{\sqrt{2}}{4}$$
입니다.

P3. 원점에서 포물선 $y=x^2$ 의 곡률원을 구하고 그래프에 나타내시오.
(Hint :원점에서 포물선의 곡률은 $\kappa (0)=2$ 입니다.)

주어진 대로 곡률원의 반지름은 $1/\kappa =\frac{1}{2}$ 입니다.
그리고 곡률중심은 단위법선벡터 방향으로 가야 하므로
$\mathbf{N}=⟨0,1⟩$의 방향에서 $\frac{1}{2}$만큼 떨어진 위치인 $(0,\frac{1}{2})$ 입니다. 따라서 곡률 원의 방정식은 다음과 같습니다.
$$x^2+{(y-\frac{1}{2})}^2=\frac{1}{4}$$

P3

 

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감사합니다.
드디어 12단원이 끝이 났네요
다음 게시물부터는 다변수함수에 대해 다뤄볼 예정입니다.
 
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