목차
1.이변수함수(Functions of Two Variables)
2.그래프(Graph)와 등위곡선(Level Curve)
3.삼변수함수, $n$변수함수
4. 예제
증명이나 해설은 더보기를 눌러 확인할 수 있습니다! 꼭 한번씩 보시기 바랍니다.
이변수함수(Functions of Two Variables)
지금까지 우리가 배웠던 함수들은 모두 단 한개의 변수를 가진 함수들이었습니다.
즉, $y=f(x)$에서 $x$ 한 개만 가지고 있는 함수들을 다루었죠.
이제 드디어 우리는 미분적분학의 꽃인 이변수함수에 대해 배울 것입니다.
사실 변수의 개수는 늘리고 싶은 만큼 늘릴 수 있지만 미분적분학에서는 2,3변수함수까지만 다룹니다.
Def. 이변수함수
이변수함수(function $f$ of two variables) $f$ 는 집합 $D$ 에 속하는 각 실수의 순서 쌍 $(x, y)$ 에 대해 $f(x, y)$ 로 표시되는 유일한 실수를 대응시키는 규칙이다. 이때 집합 $D$ 는 $f$ 의 정의역이고, $f$ 의 치역은 $f$ 가 취하는 값들의 집합, 즉 $\{f(x, y) \mid(x, y) \in D\}$ 이다.
말이 좀 어려운데 쉽게 풀어서 말하자면 변수를 하나가 아니라 두 개 가지고 있는 함수를 말합니다.
즉, $x, y$ 두 개의 값에 영향을 받는 함수라고 생각하시면 됩니다.
보통 이변수함수는 표기할 때 대부분의 경우에서 $z=f(x, y)$ 로 씁니다.
이때 변수 $x$ 와 $y$ 는 독립변수고, $z$ 는 종속변수입니다.
함숫값을 구할 때는 그냥 $x$, $y$ 자리에 해당하는 값을 넣으면 됩니다.
만약 $f(3, 2)$ 를 구하고 싶으면 $x$자리에 $3$, $y$자리에 $2$를 넣으면 끝입니다.
그럼 이변수함수를 이해할 때는 어떻게 이해하는게 좋을 까요?
먼저 기존에 배웠던 함수 $y=f(x)$는 가로축을 $x$, 세로축을 $y$로 두었습니다.
그런데 이번엔 문자가 3개라서, 좌표평면에 나타내기에는 한계가 있습니다.
예상하셨겠지만, "3차원 좌표계", 즉 "공간좌표계"를 도입합니다.
위 그림은 일반적인 경우의 이변수함수입니다.
앞서 말했듯이 독립변수가 $x, y$로 2개이므로, 축을 두 개 사용하여 나타냅니다.
그리고 함숫값(종속변수, 또는 치역)은 $z$인데, 이미 평면상에서는 모든 변수를 사용했으니까 높이, 즉 기존의 $z$축을 함숫값으로 사용합니다.
위 그림에서도 알 수 있듯이, 이변수함수는 정의역으로 $x, y$ 2 개를 사용하므로 정의역이 $\mathbb{R}^2$ 의 부분집합입니다.
치역은 한 개의 축 $z$축으로만 이루어져있으므로, $\mathbb{R}$ 의 부분집합입니다.
그림에서도 알 수 있듯이 정의역이 $\mathbb{R}^2$라는 말은 곧 정의역이 "영역"으로 표시된다는 말과 동치입니다.
밑의 예제에서도 볼 수 있지만 대략 이렇게 표시됩니다.
아래 그림은 $f(x, y)=x \ln \left(y^2-x\right)$ 의 정의역입니다.
그래프(Graph)와 등위곡선(Level Curve)
앞에서 이변수함수의 정의역이 2차원 평면 형태로 그려진다고 알아보았습니다.
그러면, 공간좌표계 내에서 3차원 형태로 표현할 수도 있지 않을까요?
정의역과 치역을 연결시켜서 공간좌표 위에 나타낸 것을 그래프(Graph)라고 합니다.
Def. 그래프(Graph)
$f$ 가 정의역 $D$ 인 이변수함수이면, $f$ 의 그래프는 $(x, y)$ 가 $D$ 에 속하고 $z=f(x, y)$ 인 $\mathbb{R}^3$ 에 속하는 점 $(x, y, z)$ 전체의 집합이다.
풀어서 말하자면 앞에서 보았던 $z=f(x, y)$를 통해서 곡면을 그린 것이라고 생각하면 됩니다.
이변수함수를 시각화할 수 있는 가장 좋은 방법이라고 말할 수 있습니다.
보통 그래프를 그리라는 문제를 보면 그냥 $f(x, y)=z$ 로 두고 3차원에서 도형의 형상을 생각하면 됩니다. 밑의 예제에서 확인할 수 있습니다.
그렇지만 우리가 시험을 컴퓨터를 통해 보는 것도 아니기에, 조금 더 이변수함수를 쉽게 표현할 수 없을까요?
이변수함수를 $z$값을 포함해서 2차원 평면상에 적절히 나타내는 방법이 있는데, 이는 등위곡선(Level Curve)입니다.
아마 여러분들도 등고선 지도를 본 적이 있으실 텐데, 다 이 기법을 활용한 겁니다.
Def. 등위곡선(Level Curve)
등위곡선 $f(x, y)=k$ 는 $f$ 가 주어진 값 $k$ 를 취하는 $f$ 의 정의역에 속한 점 전체의
집합이다.
즉, 이는 $f$ 의 그래프에서 높이 $k$ 인 곳을 보여 준다.
즉, 2차원 평면 위에, 함숫값이 같은 점들끼리 이어서 곡선을 만든 것이라고 생각하시면 됩니다.
이걸 계속 이으면 등위곡선이 됩니다.
예제에서 등위곡선과 관련된 문제를 확인할 수 있습니다.
삼변수함수, $n$변수함수
이변수함수가 있으면 당연히 변수의 개수를 늘려서 삼변수함수도 있겠죠..?
다행인 점은 삼변수함수부터는 손으로 계산하기가 어려워서 시험에 잘 나오지 않는다는 점입니다.
그래도 어떤 건지는 알아두는게 좋으니 한번 같이 살펴봅시다!
Def. 삼변수함수
삼변수함수(function of three variables) $f$ 는 정의역 $D \subset \mathbb{R}^3$ 에 속하는 세 순서쌍 $(x, y, z)$ 에 대해 $f(x, y, z)$ 로 표기되는 유일한 실수를 대응시키는 규칙이다.
정의는 어렵게 써놓았지만 결국 함수의 정의이고, 앞의 이변수함수에서 그냥 변수 한 개가 더 추가된 것이라고 생각하시면 됩니다.
아쉽게도(?) 삼변수함수는 그리기가 정말 어려워서, 시험에 잘 나오지 않습니다.
삼변수함수는 4차원 공간에 있으므로 그래프로 시각화하기 정말 어렵지만, 등위곡면(level surface)을 활용하면, 어떻게 표현은 가능합니다.
(앞과 마찬가지로 상수 $k$ 에 대해 방징식 $f(x, y, z)=k$ 를 생각하시면 됩니다!)
이렇게 변수를 계속 확장시켜 가보면, 일반적인 $n$변수함수를 정의할 수 있게 됩니다.
Def. $n$변수함수(function of $n$ variables)
$n$변수함수는 실수의 $n$-순서쌍 $\left(x_1, x_2, \ldots, x_n\right)$ 에 수 $z=f\left(x_1, x_2, \ldots, x_n\right)$ 을 대응시키는 규칙이다. 이러한 $n$-순서쌍 전체의 집합을 $\mathbb{P}^n$ 으로 나타낸다
가령 어떤 회사가 제품들을 만드는 데 $n$ 개의 서로 다른 재료를 쓴다고 해봅시다.
$c_i$ 를 $i$ 번쩨 재료의 단위당 가격, $i$ 번쩨 재료를 $x_i$번 이용한다면,
재료를 구입할 때 소요되는 충 비용 $C$ 는 다음 과. 같이 $n$ 변수 $x_1, x_2, \ldots, x_n$ 의 함수로 나타낼 수 있습니다.
$$
C=f\left(x_1, x_2, \ldots, x_n\right)=c_1 x_1+c_2 x_2+\cdots+c_n x_n
$$
이렇게 변수가 많은 함수도 사용될 수 있습니다.
$n$변수함수는 사실 수학과가 아니라면 그렇게 중요하지 않으니 그냥 넘기셔도 됩니다 :)
예제
P1(이변수함수).
다음 각 함수에서 $f(3,2)$ 의 값을 계산하고, 정의역을 구하고 정의역의 그림을 그리시오.
(a) $$f(x, y)=\frac{\sqrt{x+y+1}}{x-1}$$
(b) $$f(x, y)=x \ln \left(y^2-x\right)$$
(a)
함숫값은 그냥 대입하면 됩니다.
$$f(3,2)=\frac{\sqrt{3+2+1}}{3-1}=\frac{\sqrt{6}}{2}$$
정의역을 따질 때 중요한 부분들이 여러 개 있었죠.
이 함수에서 볼 것들은
1.분모가 0이 아니다.
2.제곱근 안의 부호가 음이 아니어야 한다.
이 두 가지만 보면 되겠네요.
그러므로 $f$ 의 정의역은 다음과 같습니다.
$$
D=\{(x, y) \mid x+y+1 \geq 0, x \neq 1\}
$$
부등식 $x+y+1 \geq 0$를 $xy$평면에 대해서 풀어봅시다.
그렇게 되면 $y \geq-x-1$이고 이는 $y=-x-1$ 또는 그보다 위에 있는 점들을 나타냅니다.
그리고 $x \neq 1$ 을 이후에 고려하면 됩니다.
(b)
아까 했던 대로 함숫값을 계산하면 $f(3,2)=3 \ln \left(2^2-3\right)=3 \ln 1=0$ 입니다.
로그함수에서 정의역 조건을 잘 생각해봅시다.
$\ln \left(y^2-x\right)$ 는 $y^2-x>0$ 일 때, 즉 $x<y^2$ 일 때 정의됩니다.
따라서 $f$ 의 정의역은
$$D=\left\{(x, y) \mid x<y^2\right\}$$
입니다.
잘 이해해 보면 이는 포물선 $x=y^2$ 의 왼쪽에 있는 점들의 집합입니다.
P2.이변수함수, 그래프
$g(x, y)=\sqrt{9-x^2-y^2}$ 의 정의역과 치역을 구하시오. 또한 그래프(Graph)도 구하시오.
풀이
$g$ 의 정의역, 루트함수의 정의에 의해 구할 수 있습니다. 즉,
$$
D=\left\{(x, y) \mid 9-x^2-y^2 \geq 0\right\}=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leq 9\right\}
$$
와 같습니다.
이때 여기서 $x^2+y^2 \leq 9$ 는 곧 중심이 $(0,0)$ 이고 반지름이 3 인 원판입니다.
$g(x, y)$를 $z$라고 하면, $g$ 의 치역은 다음과 같습니다.
$$
\left\{z \mid z=\sqrt{9-x^2-y^2},(x, y) \in D\right\}
$$
$z$ 는 양의 제곱근이기 때문에 $z \geq 0$ 입니다.
또한 $9-x^2-y^2 \leq 9$ 이므로,
$$
\sqrt{9-x^2-y^2} \leq 3
$$
으로부터 치역은 다음과 같습니다.
$$
\{z \mid 0 \leq z \leq 3\}=[0,3]
$$
그래프 문제는 위의 개념에서도 언급드렸듯이 그냥 $f$를 $z$로 바꾸고 3차원 공간에서 생각하시면 됩니다.
따라서 $g$ 의 그래프의 방정식은 $z=\sqrt{9-x^2-y^2}$ 입니다.
이때 이 방정식의 양변을 제곱해서 $z^2=9-x^2-y^2$, 즉 구의 방정식인 $x^2+y^2+z^2=9$ 를 얻을 수 있습니다.
이것은 중심이 원점이고 반지름이 3 인 구의 방정식입니다.
다만 조심해야 할 점은 제곱 전에 $z$가 항상 양수, 즉 치역이 항상 양수였으니,
$z \geq 0$ 이므로 $g$ 의 그래프는 구의 위쪽 반이 됩니다.
P3) $x>0, y>0, z>0$인 제1팔분공간에서 함수 $f(x, y)=6-3 x-2 y$ 의 그래프를 그리시오.
그래프 문제는 위의 개념에서도 언급드렸듯이 그냥 $f$를 $z$로 바꾸고 3차원 공간에서 생각하시면 됩니다.
$f$ 의 그래프의 방정식은 $z=6-3 x-2$ 또는 $3 x+2 y+z=6$ 이며 평면입니다.
평면을 그리기 위해서는 먼저 절편을 구해야 합니다.
방정식에서 $y=z=0$ 로 놓으면 $x$ 절편 2 를 얻습니다.
마찬가지로 계산하면. $y$ 절편은 $3, z$ 절편은 6입니다.
그림을 그리면 아래와 같습니다.
P4. (등위곡선, level curve)
함수 $f(x, y)=6-3 x-2 y$ 의 등위곡선을 그리시오.
(이때 $k=-6,0,6,12$ 의 등위선만 그릴 것)
등위곡선은 그냥 $f$를 $k$로 놓으면 됩니다. 그렇게 하여 식을 정리하면
$$
6-3 x-2 y=k
$$
$$
3 x+2 y+(k-6)=0
$$
이는 기울기가 $-\frac{3}{2}$ 인 직선임을 알 수 있습니다.
주어진 $k$값을 대입하면, $k=-6,0,6,12$ 일 때 각각 $3 x+2 y-12=0$, $3 x+2 y-6=0,3 x+2 y=0,3 x+2 y+6=0$ 입니다.
P5. (등위곡선, level curve)
함수 $g(x, y)=\sqrt{9-x^2-y^2}$ 의 등위곡선을 그려시오.
($k=0,1,2,3$의 등위선만 그릴 것)
등위곡선은 그냥 $f$를 $k$로 놓으면 됩니다. 식을 정리하면
$$
\sqrt{9-x^2-y^2}=k, x^2+y^2=9-k^2
$$
이는 중심이 $(0,0)$ 이고 반지름이 $\sqrt{9-k^2}$ 인 원의 방정식입니다.
주어진 $k$값은 루트의 정의에 어긋나지 않으므로 대입할 수 있습니다!
$k=0,1,2,3$ 일 때 등위 곡선은 아래 그림과 같습니다.
P6. 삼변수함수
함수 $f(x, y, z)=x^2+y^2+z^2$ 등위곡면(level surface)을 구하시오.
($k=1,4,9$의 등위면만 그릴 것, 3차원 공간에 그릴 것)
등위곡면은 등위곡선과 같이 $f$를 $k$로 바꾸면 됩니다.
다만 "그리기"에는 매우 까다롭습니다. 그래서 여러 $k$값을 대입해서 대략적인 형상을 생각하는 것입니다.
먼저 등위곡면은 $x^2+y^2+z^2=k(k \geq 0)$ 입니다.
이는 반지름이 $\sqrt{k}$ 인 구입니다.
$k$의 각 값들을 대입해서 그리면 아래와 같습니다.
감사합니다.
다음 시간에는 이변수함수의 극한과 연속에 대해 알아보겠습니다.
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