목차
1. 벡터함수(Vector function)
벡터함수
벡터함수의 극한과 연속
2. 공간곡선(Space Curves)
공간곡선
증명이나 해설은 더보기를 눌러 확인할 수 있습니다! 꼭 한번씩 보시기 바랍니다.
벡터함수
우리가 잘 알고 있듯이 함수는 정의역의 각 원소를 치역의 한 원소에 대응시키는 규칙입니다.
벡터 함수(vector function) 또는 벡터값 함수(vector-valued function)는 같은 원리를 사용하지만, 정의역이 실수의 집합이고, 치역이 벡터의 집합인 함수입니다.
일반적으로 벡터함수 $\mathbf{r}$ 는 그 값이 3차원 벡터인 함수입니다.
즉, 벡터함수 $\mathbf{r}$ 의 정의역에 속한 모든 수 $t$ 에 대헤 $\mathbf{r}(t)$ 로 나타내는 $V_3$ 의 벡터가 유일하게 존재한다는 것을 의미합니다.
$f(t)$, $g(t), h(t)$ 가 벡터 $\mathbf{r}(t)$ 의 성분이라면, $f, g, h$ 는 $\mathbf{r}$ 의 성분함수(component function)라 고 하는 실숫값 함수(벡터가 아님)이고, 이것을 다음과 같이 성분처럼 쓸 수 있습니다.
Thm. 벡터함수의 성분함수
벡터함수의 성분함수 (component function) 은 다음과 같다.
$$
\mathbf{r}(t)=\langle f(t), g(t), h(t)\rangle=f(t) \mathbf{i}+g(t) \mathbf{j}+h(t) \mathbf{k}
$$
보통 독립변수로 문자 $t$ 가 사용됩니다.
P1)
다음 벡터함수 $\mathbf{r}(t)=\left\langle t^3, \ln (3-t), \sqrt{t}\right\rangle$의 성분함수를 구하고, 정의역을 구하시오.
$\mathbf{r}(t)=\left\langle t^3, \ln (3-t), \sqrt{t}\right\rangle$ 이면 성분함수는 아래처럼 됩니다. (정의를 그대로 쓴 것입니다.)
$$
f(t)=t^3, \quad g(t)=\ln (3-t), \quad h(t)=\sqrt{t}
$$
또한 정의역은 각 함수에 대해 모두 생각하고, 교집합으로 합쳐야 합니다. 즉,
식 $t^3, \ln (3-t), \sqrt{t}$ 는 $3-t>0, t \geq 0$ 일 때 모두 정의됩니다. 따라서 $\mathbf{r}$ 의 정의역은 구간 $[0,3)$ 입니다.
벡터함수의 극한과 연속
실수랑 똑같이 계산하면 됩니다.
Thm. 벡터함수의 극한
벡터함수 $\mathbf{r}$ 의 극한(limit)은 다음과 같이 성분합수들의 극한을 취함으로써 정의된다.
$\mathbf{r}(t)=\langle f(t), g(t), h(t)\rangle$ 일 때, 각 성분합수의 극한이 존재하먼 다음과 같다.
$$
\lim _{t \rightarrow a} \mathbf{r}(t)=\left\langle\lim _{t \rightarrow a} f(t), \lim _{t \rightarrow a} g(t), \lim _{i \rightarrow a} h(t)\right\rangle
$$
cf) 물론 벡터함수도 입실론-델타 논법을 활용하여 쓸 수도 있습니다.
실수에서의 연속과 마찬가지로 벡터함수에서도 연속조건이 존재합니다.
Thm. 벡터함수의 연속
다음을 만족할 매 벡터함수 $\mathbf{r}$ 는 ${a}$ 에서 연속(continuous at $a$ ) 이라 한다.
$$
\lim _{t \rightarrow a} \mathbf{r}(t)=\mathbf{r}(a)
$$
즉, $\mathbf{r}$ 가 $a$ 에서 연속이기 위한 필요충분조건은 그의 성분함수 $f, g, h$ 가 $a$ 에서 연속인 경우입니다.
P2 )
$ \mathbf{r}(t)=\left(1+t^3\right) \mathbf{i}+t e^{-t} \mathbf{j}+\frac{\sin t}{t} \mathbf{k}$ 일 때, $ \lim _{t \rightarrow 0} \mathbf{r}(t) $ 를 구하라.
극한의 계산은 각 성분함수에 대해서 계산하면 끝입니다.
$$
\begin{aligned}
\lim _{t \rightarrow 0} \mathrm{r}(t) & =\left[\lim _{t \rightarrow 0}\left(1+t^3\right)\right] \mathbf{i}+\left[\lim _{t \rightarrow 0} t e^{-t}\right] \mathbf{j}+\left[\lim _{t \rightarrow 0} \frac{\sin t}{t}\right] \mathbf{k} \\
& =\mathbf{i}+\mathbf{k} \quad
\end{aligned}
$$
공간곡선
연속인 벡터함수와 공간곡선 사이에는 밀접한 관련이 있습니다.
Def. 공간곡선(Space curve)
$f, g, h$ 를 구간 $I$ 에서 연속인 실숫값 함수라 하자. 이때 $t$ 가 구간 $I$ 전체에서 변한다고 할 때 다음 식을 만족하는 공간의 모든 점 $(x, y, z)$ 의 집합 $C$ 를 공간곡선(space curve)이라 한다.
$$
x=f(t), \quad y=g(t), \quad z=h(t)
$$
위 방정식을 $C$ 의 매개변수방정식(parametric equations of $C$ ), $t$ 를 매개변수(parameter)라 한다.
위 방정식을 잘 생각해보면 $C$ 는 시각 $t$ 에서 그 위치가 $(f(t), g(t), h(t))$ 인 입자가 그리는 곡선으로 생각할 수 있습니다.
이제 아까 배운 벡터함수 $\mathbf{r}(t)=\langle f(t), g(t), h(t)\rangle$ 를 생각하면, $\mathbf{r}(t)$ 는 $C$ 위의 점 $P(f(t), g(t), h(t))$ 의 위치벡터입니다.
즉, 벡터함수는 말 그대로 공간곡선 한 점 위로 가는 "벡터"를 나타내고, 공간곡선은 실제 그 곡선 자체를 의미합니다.
따라서 임의의 연속인 벡터함수 $\mathbf{r}$ 는 위 그림에서와 같이 움직이는 벡터 $\mathbf{r}(t)$ 의 종점이 그리는 공간곡선 $C$ 를 만들어냅니다.
P3 )
벡터함수 $\mathbf{r}(t)=\langle 1+t, 2+5 t,-1+6 t\rangle$은 직선인가?
2024.08.11 - [기초공학과목/미분적분학(2)] - [미분적분학(2) 개념 정리] 11.5 (1) 직선의 방정식(equation of the line)
대응하는 매개변수방정식은 다음과 같습니다.
$$
x=1+t, \quad y=2+5 t, \quad z=-1+6 t
$$
이는 11.5장에서 배웠듯이 점 $(1,2,-1)$ 을 지나고 벡터 $\langle 1,5,6\rangle$ 에 평행인 직선의 매개변수방정식임을 알 수 있습니다.
한편 이 함수는 다시 쓰면 $\mathbf{r}_0=\langle 1,2,-1\rangle$ 이고 $\mathbf{v}=\langle 1,5,6\rangle$ 일 때 $\mathbf{r}$ $=\mathrm{r}_0+t \mathrm{v}$ 로 쓸 수 있으므로, 이것은 11.5절에서 배운 직선의 벡터방정식입니다.
평면곡선도 벡터기호로 표현할 수 있습니다.
예를 들면 매개변수방정식 $x=t^2-2 t$, $y=t+1$로 주어진 곡선은 다음 2차원 벡터방정식으로 설명할 수도 있습니다.
$$
\begin{aligned}
\mathbf{r}(t) & =\left\langle t^2-2 t, t+1\right\rangle=\left(t^2-2 t\right) \mathbf{i}+(t+1) \mathbf{j} \\
\end{aligned}
$$
P4)
벡터방정식이 $\mathbf{r}(t)=\cos t \mathbf{i}+\sin t \mathbf{j}+t \mathbf{k}$ 인 곡선을 그리시오.
(경험적인 문제입니다. 그림을 그려가면서 풀어보세요.)
cf) 위 벡터방정식 형태를 나선(helix)라 합니다.
이 곡선의 매개변수방정식은 다음과 같습니다.
$$
x=\cos t, \quad y=\sin t, \quad z=t
$$
삼각함수 공식 중에 적당한 공식을 사용합시다. $x^2+y^2=\cos ^2 t+\sin ^2 t=1$으로부터
이 곡선은 원기둥 $x^2+y^2=1$ 위에 놓여 있어야 합니다.
즉, $xy$평면 상에서의 원 모양으로, $z$방향에 따라 순회하는 형상을 띔을 알 수 있습니다.
P5)
점 $P(1,3,-2)$ 와 점 $Q(2,-1,3)$ 을 잇는 선분의 벡터방정식과 매개변수방정식을 구하시오.
2024.08.11 - [기초공학과목/미분적분학(2)] - [미분적분학(2) 개념 정리] 11.5 (1) 직선의 방정식(equation of the line)
의 공식을 참조하세요.
11.5 절에서 배운 선분의 벡터 방정식은 다음과 같습니다.
$$
\mathbf{r}(t)=(1-t) \mathbf{r}_0+t \mathbf{r}_1, \quad 0 \leq t \leq 1
$$
여기서 $P$ 에서 $Q$ 까지 선분의 벡터방정식을 얻기 위해
$\mathbf{r}_0=\langle 1,3,-2\rangle$ 와 $\mathbf{r}_1=\langle 2,-1,3\rangle$ 을 선택하면 다음과 같습니다.
\begin{aligned}
& \mathbf{r}(t)=(1-t)\langle 1,3,-2\rangle+t\langle 2,-1,3\rangle, \quad 0 \leq t \leq 1 \\
& \quad \mathbf{r}(t)=\langle 1+t, 3-4 t,-2+5 t\rangle, 0 \leq t \leq 1
\end{aligned}
이에 대응하는 매개변수방정식은 다음과 같습니다.
$$x=1+t, \quad y=3-4 t, \quad z=-2+5 t, \quad 0 \leq t \leq 1$$
P6)
원기둥 $x^2+y^2=1$ 과 평면 $y+z=2$ 의 교선의 방정식을 표현하는 벡터함수를 구하시오.
(Hint : $x=\cos t, \quad y=\sin t$ 를 사용해 보세요)
$x y$ 평면으로 $C$ 의 사영은 원 $x^2+y^2=1, z=0$ 입니다.
적절한 매개변수 $t$를 사용하면,
$$
x=\cos t, \quad y=\sin t, \quad 0 \leq t \leq 2 \pi
$$
입니다.이때 주어진 평면의 방정식으로부터 다음을 얻을 수 있습니다.
$$
z=2-y=2-\sin t
$$
따라서 모든 성분함수가 하나의 매개변수 $t$ 로 통일되었으므로 $C$ 의 매개변수방정식은 다음과 같습니다.
$$
x=\cos t, \quad y=\sin t, \quad z=2-\sin t, \quad 0 \leq t \leq 2 \pi
$$
이에 대응하는 벡터방정식은 다음과 같습니다.
$$
\mathbf{r}(t)=\cos t \mathbf{i}+\sin t \mathbf{j}+(2-\sin t) \mathbf{k}, \quad 0 \leq t \leq 2 \pi
$$
6번과 같은 방법을 곡선 $C$ 의 매개변수화(parametrization)라고 한다. 아래 그림은 변수 $t$ 가 증가함에 따라 $C$ 가 진행하는 방향을 나타내고 있습니다.
P7)
포물곡면 $4 y=x^2+z^2$ 와 평면 $y=x$ 의 교선의 매개변수방정식을 구하라.
교선 $C$ 의 모든 점은 두 곡면의 방정식을 만족할 것입니다.
따라서 $y=x$ 를 $4 y=x^2+z^2$ 에 대입해봅시다. 그렇게 되면
$$4 x=x^2+z^2$$
을 얻을 수 있습니다.
이를 원의 형태로 만들기 위해 $x$ 에 대해 완전제곱으로 변형하면
$$(x-2)^2+z^2=4$$
입니다.
따라서 $C$ 는 원기둥 $(x-2)^2+z^2=4$ 에 포함됨을 알 수 있습니다.
위 예제랑 같은 방법으로, $C$ 의 $x z$ 평면으로의 사영은 원
$$(x-2)^2+z^2=4, y=0$$
입니다.
이 원은 중심이 $(2,0,0)$ 이며 반지름이 2인 원입니다.
앞과 같은 방법이지만 약간의 평행이동을 사용하여 매개변수화(parametrization)하면
$$x=2+2 \cos t, z=2 \sin t, (0 \leq t \leq 2 \pi)$$
로 쓸 수 있고,
$y=x$ 이므로 답은
$$x=2+2 \cos t, y=2+2 \cos t, z=2 \sin t, 0 \leq t \leq 2 \pi$$
입니다.
수고하셨습니다.
다음 시간에는 벡터함수의 도함수와 적분에 대해 알아보도록 하겠습니다.
감사합니다.
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