[미분적분학(2) 개념 정리] 12.1 벡터함수와 공간곡선(Vector Functions and Space Curves)

 

목차

1. 벡터함수(Vector function)

벡터함수

벡터함수의 극한과 연속

2. 공간곡선(Space Curves)

공간곡선

 

증명이나 해설은 더보기를 눌러 확인할 수 있습니다! 꼭 한번씩 보시기 바랍니다.

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벡터함수

우리가 잘 알고 있듯이 함수는 정의역의 각 원소를 치역의 한 원소에 대응시키는 규칙입니다.

벡터 함수(vector function) 또는 벡터값 함수(vector-valued function)는 같은 원리를 사용하지만, 정의역이 실수의 집합이고, 치역이 벡터의 집합인 함수입니다.

 

일반적으로 벡터함수 $\mathbf{r}$ 는 그 값이 3차원 벡터인 함수입니다.

즉, 벡터함수 $\mathbf{r}$ 의 정의역에 속한 모든 수 $t$ 에 대헤 $\mathbf{r}(t)$ 로 나타내는 $V_3$ 의 벡터가 유일하게 존재한다는 것을 의미합니다.

 

$f(t)$, $g(t),h(t)$ 가 벡터 $\mathbf{r}(t)$ 의 성분이라면, $f,g,h$ 는 $\mathbf{r}$ 의 성분함수(component function)라 고 하는 실숫값 함수(벡터가 아님)이고, 이것을 다음과 같이 성분처럼 쓸 수 있습니다.

Thm. 벡터함수의 성분함수

벡터함수의 성분함수 (component function) 은 다음과 같다.

$$\mathbf{r}(t)=⟨f(t),g(t),h(t)⟩=f(t)\mathbf{i}+g(t)\mathbf{j}+h(t)\mathbf{k}$$

보통 독립변수로 문자 $t$ 가 사용됩니다.

P1)

다음 벡터함수 $\mathbf{r}(t)=⟨t^3,\ln (3-t),\sqrt{t}⟩$의 성분함수를 구하고, 정의역을 구하시오.

$\mathbf{r}(t)=⟨t^3,\ln (3-t),\sqrt{t}⟩$ 이면 성분함수는 아래처럼 됩니다. (정의를 그대로 쓴 것입니다.)
$$f(t)=t^3,g(t)=\ln (3-t),h(t)=\sqrt{t}$$

또한 정의역은 각 함수에 대해 모두 생각하고, 교집합으로 합쳐야 합니다. 즉,
식 $t^3,\ln (3-t),\sqrt{t}$ 는 $3-t>0,t\ge 0$ 일 때 모두 정의됩니다. 따라서 $\mathbf{r}$ 의 정의역은 구간 $[0,3)$ 입니다.

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벡터함수의 극한과 연속

실수랑 똑같이 계산하면 됩니다.

Thm. 벡터함수의 극한

벡터함수 $\mathbf{r}$ 의 극한(limit)은 다음과 같이 성분합수들의 극한을 취함으로써 정의된다.
$\mathbf{r}(t)=⟨f(t),g(t),h(t)⟩$ 일 때, 각 성분합수의 극한이 존재하먼 다음과 같다.
$$\underset{t\to a}{lim}\mathbf{r}(t)=⟨\underset{t\to a}{lim}f(t),\underset{t\to a}{lim}g(t),\underset{i\to a}{lim}h(t)⟩$$

cf) 물론 벡터함수도 입실론-델타 논법을 활용하여 쓸 수도 있습니다.

 

실수에서의 연속과 마찬가지로 벡터함수에서도 연속조건이 존재합니다.

Thm. 벡터함수의 연속

다음을 만족할 매 벡터함수 $\mathbf{r}$ 는 $a$ 에서 연속(continuous at $a$ ) 이라 한다.
$$\underset{t\to a}{lim}\mathbf{r}(t)=\mathbf{r}(a)$$

즉, $\mathbf{r}$ 가 $a$ 에서 연속이기 위한 필요충분조건은 그의 성분함수 $f,g,h$ 가 $a$ 에서 연속인 경우입니다.

 

P2 )

$\mathbf{r}(t)=(1+t^3)\mathbf{i}+t{e}^{-t}\mathbf{j}+\frac{\sin t}{t}\mathbf{k}$ 일 때, $\underset{t\to 0}{lim}\mathbf{r}(t)$ 를 구하라.

극한의 계산은 각 성분함수에 대해서 계산하면 끝입니다.
$$\begin{array}{rl}\underset{t\to 0}{lim}\mathrm{r}(t)& =\left[\underset{t\to 0}{lim}(1+t^3)\right]\mathbf{i}+\left[\underset{t\to 0}{lim}t{e}^{-t}\right]\mathbf{j}+\left[\underset{t\to 0}{lim}\frac{\sin t}{t}\right]\mathbf{k}\\ & =\mathbf{i}+\mathbf{k}\end{array}$$

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공간곡선

 

연속인 벡터함수와 공간곡선 사이에는 밀접한 관련이 있습니다.

벡터함수와 공간곡선

Def. 공간곡선(Space curve)

$f,g,h$ 를 구간 $I$ 에서 연속인 실숫값 함수라 하자. 이때 $t$ 가 구간 $I$ 전체에서 변한다고 할 때 다음 식을 만족하는 공간의 모든 점 $(x,y,z)$ 의 집합 $C$ 를 공간곡선(space curve)이라 한다.
$$x=f(t),y=g(t),z=h(t)$$

위 방정식을 $C$ 의 매개변수방정식(parametric equations of $C$ ), $t$ 를 매개변수(parameter)라 한다.

 

위 방정식을 잘 생각해보면 $C$ 는 시각 $t$ 에서 그 위치가 $(f(t),g(t),h(t))$ 인 입자가 그리는 곡선으로 생각할 수 있습니다.

이제 아까 배운 벡터함수 $\mathbf{r}(t)=⟨f(t),g(t),h(t)⟩$ 를 생각하면, $\mathbf{r}(t)$ 는 $C$ 위의 점 $P(f(t),g(t),h(t))$ 의 위치벡터입니다.

 

즉, 벡터함수는 말 그대로 공간곡선 한 점 위로 가는 "벡터"를 나타내고, 공간곡선은 실제 그 곡선 자체를 의미합니다.

따라서 임의의 연속인 벡터함수 $\mathbf{r}$ 는 위 그림에서와 같이 움직이는 벡터 $\mathbf{r}(t)$ 의 종점이 그리는 공간곡선 $C$ 를 만들어냅니다.

P3 )

벡터함수 $\mathbf{r}(t)=⟨1+t,2+5t,-1+6t⟩$은 직선인가?

2024.08.11 - [기초공학과목/미분적분학(2)] - [미분적분학(2) 개념 정리] 11.5 (1) 직선의 방정식(equation of the line)

대응하는 매개변수방정식은 다음과 같습니다.
$$x=1+t,y=2+5t,z=-1+6t$$

이는 11.5장에서 배웠듯이 점 $(1,2,-1)$ 을 지나고 벡터 $⟨1,5,6⟩$ 에 평행인 직선의 매개변수방정식임을 알 수 있습니다.

한편 이 함수는 다시 쓰면 ${\mathbf{r}}_0=⟨1,2,-1⟩$ 이고 $\mathbf{v}=⟨1,5,6⟩$ 일 때 $\mathbf{r}$ $={\mathrm{r}}_0+t\mathrm{v}$ 로 쓸 수 있으므로, 이것은 11.5절에서 배운 직선의 벡터방정식입니다.

평면곡선도 벡터기호로 표현할 수 있습니다.

예를 들면 매개변수방정식 $x=t^2-2t$, $y=t+1$로 주어진 곡선은 다음 2차원 벡터방정식으로 설명할 수도 있습니다.
$$\begin{array}{rl}\mathbf{r}(t)& =⟨t^2-2t,t+1⟩=(t^2-2t)\mathbf{i}+(t+1)\mathbf{j}\end{array}$$

P4)
벡터방정식이 $\mathbf{r}(t)=\cos t\mathbf{i}+\sin t\mathbf{j}+t\mathbf{k}$ 인 곡선을 그리시오.

(경험적인 문제입니다. 그림을 그려가면서 풀어보세요.)

cf) 위 벡터방정식 형태를 나선(helix)라 합니다.

이 곡선의 매개변수방정식은 다음과 같습니다.
$$x=\cos t,y=\sin t,z=t$$

삼각함수 공식 중에 적당한 공식을 사용합시다. $x^2+y^2={\cos }^{2}t+{\sin }^{2}t=1$으로부터

이 곡선은 원기둥 $x^2+y^2=1$ 위에 놓여 있어야 합니다.

즉, $xy$평면 상에서의 원 모양으로, $z$방향에 따라 순회하는 형상을 띔을 알 수 있습니다.

P4

 

P5)

점 $P(1,3,-2)$ 와 점 $Q(2,-1,3)$ 을 잇는 선분의 벡터방정식과 매개변수방정식을 구하시오.

2024.08.11 - [기초공학과목/미분적분학(2)] - [미분적분학(2) 개념 정리] 11.5 (1) 직선의 방정식(equation of the line)

의 공식을 참조하세요.

11.5 절에서 배운 선분의 벡터 방정식은 다음과 같습니다.
$$\mathbf{r}(t)=(1-t){\mathbf{r}}_0+t{\mathbf{r}}_1,0\le t\le 1$$

여기서 $P$ 에서 $Q$ 까지 선분의 벡터방정식을 얻기 위해

${\mathbf{r}}_0=⟨1,3,-2⟩$ 와 ${\mathbf{r}}_1=⟨2,-1,3⟩$ 을 선택하면 다음과 같습니다.
$$\begin{array}{rl}& \mathbf{r}(t)=(1-t)⟨1,3,-2⟩+t⟨2,-1,3⟩,0\le t\le 1\\ & \mathbf{r}(t)=⟨1+t,3-4t,-2+5t⟩,0\le t\le 1\end{array}$$

이에 대응하는 매개변수방정식은 다음과 같습니다.
$$x=1+t,y=3-4t,z=-2+5t,0\le t\le 1$$

P6)

원기둥 $x^2+y^2=1$ 과 평면 $y+z=2$ 의 교선의 방정식을 표현하는 벡터함수를 구하시오.
(Hint : $x=\cos t,y=\sin t$ 를 사용해 보세요)

$xy$ 평면으로 $C$ 의 사영은 원 $x^2+y^2=1,z=0$ 입니다.

적절한 매개변수 $t$를 사용하면,
$$x=\cos t,y=\sin t,0\le t\le 2\pi$$
입니다.이때 주어진 평면의 방정식으로부터 다음을 얻을 수 있습니다.

$$z=2-y=2-\sin t$$
따라서 모든 성분함수가 하나의 매개변수 $t$ 로 통일되었으므로 $C$ 의 매개변수방정식은 다음과 같습니다.
$$x=\cos t,y=\sin t,z=2-\sin t,0\le t\le 2\pi$$
이에 대응하는 벡터방정식은 다음과 같습니다.
$$\mathbf{r}(t)=\cos t\mathbf{i}+\sin t\mathbf{j}+(2-\sin t)\mathbf{k},0\le t\le 2\pi$$

6번과 같은 방법을 곡선 $C$ 의 매개변수화(parametrization)라고 한다. 아래 그림은 변수 $t$ 가 증가함에 따라 $C$ 가 진행하는 방향을 나타내고 있습니다.

P6

P7)

포물곡면 $4y=x^2+z^2$ 와 평면 $y=x$ 의 교선의 매개변수방정식을 구하라.

P7

교선 $C$ 의 모든 점은 두 곡면의 방정식을 만족할 것입니다.
따라서 $y=x$ 를 $4y=x^2+z^2$ 에 대입해봅시다. 그렇게 되면
$$4x=x^2+z^2$$
을 얻을 수 있습니다.
이를 원의 형태로 만들기 위해 $x$ 에 대해 완전제곱으로 변형하면
$$(x-2{)}^2+z^2=4$$
입니다.
따라서 $C$ 는 원기둥 $(x-2{)}^2+z^2=4$ 에 포함됨을 알 수 있습니다.
위 예제랑 같은 방법으로, $C$ 의 $xz$ 평면으로의 사영은 원
$$(x-2{)}^2+z^2=4,y=0$$
입니다.
이 원은 중심이 $(2,0,0)$ 이며 반지름이 2인 원입니다.
앞과 같은 방법이지만 약간의 평행이동을 사용하여 매개변수화(parametrization)하면
$$x=2+2\cos t,z=2\sin t,(0\le t\le 2\pi )$$
로 쓸 수 있고,
$y=x$ 이므로 답은
$$x=2+2\cos t,y=2+2\cos t,z=2\sin t,0\le t\le 2\pi$$
입니다.

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수고하셨습니다.

다음 시간에는 벡터함수의 도함수와 적분에 대해 알아보도록 하겠습니다.

감사합니다.

 

 

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