목차
1. 평면의 방정식
평면의 스칼라방정식(scalar equation of the plane)
두 평면 사의의 각
2. 평면에서의 거리
한 점과 평면 사이의 거리 공식
증명이나 해설은 더보기를 눌러 확인할 수 있습니다!
평면의 방정식
3차원에 있는 직선은 점과 방향으로 결정된다 하더라도, 3차원의 평면은 식으로 결정하기가 까다롭습니다.
즉, 평면에 평행인 한 벡터로 평면의 '방향'을 나타내기에는 불충분합니다.
그러나 평면에 수직인 벡터는 평면의 방향을 완벽하게 나타낼 수 있습니다. (평면당 단 한개 존재하므로)

따라서 공간상에서 평면은 평면 위의 한 점
이때 수직인 벡터
Def. 평면의 스칼라방정식(scalar equation of the plane)
평면 위의 한 점
cf) 식
equation)이라 한다. 여기서
증명은 더보기를 눌러 확인하실 수 있습니다.

그림처럼
또한 법선벡터
따라서
이항하여 적절히 정리하면,
이를 평면의 벡터방정식(vector equation of the plane)이라 합니다.
평면의 스칼라방정식을 얻기 위해 모두 성분으로 고쳐서 대입해봅시다.
이고, 내적하여 다음을 얻습니다.
P1)
점
Sol.
위에서 배운 공식을 사용하면,
입니다.
마찬가지로
이 결과를 통해 제 1 팔분공간에 있는 평면의 일부분을 그릴 수 있습니다.

P2)
점
(Hint: 평면 위의 두 벡터를 사용하세요)
Sol.
평면 위의 두 벡터를 외적하면, 평면에 수직인 벡터 하나가 나옵니다.
이걸 사용해서 평면의 방정식을 구할 수 있겠죠? (외적 파트 참고)
임의로
따라서
외적하면,
가 되고, 한 점
평면의 방정식은 다음과 같습니다.
또는 다음과 같이 풀어서 써도 됩니다.
P3)
매개변수방정식
Sol.
바로 매개변수방정식에서
이제 이걸 정리하면
따라서 만나는 점은 매개변수의 값이
그러면
두 평면의 평행, 사잇각 구하기
법선벡터가 평행일 때 두 평면은 평행(parallel)입니다.(당연하겠죠!)
예를 들어 평면
그런데, 두 평면이 평행이 아니면 한 직선에서 만나게 되고,이때 두 평면 사이 의 각은 법선벡터 사이의 예각으로 정의됩니다.

Cor. 두 평면 사의의 각
두 평면의 법선벡터가
두 평면 사이의 각은,
이다.
*벡터의 내적의 크기를 사용해서 사잇각을 구한 것입니다.
*이 내용은 수식으로 이해하기 정말 어려우니 그림을 참고해서 직접 그려서 이해해 보세요!
(내적의 정의를 사용한 겁니다! 두 벡터 사잇각은 내적을 활용하여 구하는 것이 가장 편해요)
P4)
(a) 평면
(b) 이 두 평면의 교선
*이 문제는 정말 중요합니다. 아래 그림을 참조해서 풀어보세요!

Sol.

(a) 두 평면의 법선벡터는, 아래와 같습니다.
또한 평면 사이의 각을
입니다.
(b) 대칭방정식을 알기 위해서는, 한 점과 방향수(기울기벡터)가 필요합니다.
먼저
두 평면의 방정식에서
또한, 이 직선 두 개를 연립함으로써 교점을 구할 수가 있겠죠?
*연산을 두 번 한다는 겁니다! 각 평면에서
따라서
그 해는
직선
이때
(이해하기 정말 까다로워서 아래에 그림을 첨부하였습니다! 꼭 잘 봐주세요!)

따라서
따라서
위 문제와 관련하여 알 수 있는 사항입니다. 참고하시기 바랍니다.
cf)
이것은
일반적으로 직선의 방정식을 다음과 같은 대칭형으로 나타내면
그 직선은 다음과 같은 두 평면의 교선으로 생각할 수 있다.
평면에서의 거리
3차원 좌표계에서도 이와 비슷한 한 점과 평면 사이의 거리 공식이 있습니다.
Def. 한 점과 평면 사이의 거리 공식(The distance from the point to the plane)
점
증명은 다음과 같습니다.

점
그림에서
P5)
평행인 두 평면
Sol. 두 평면이 평행하므로, 사이의 거리를 구할 수 있는 겁니다. (평행하지 않으면 평면은 무조건 만납니다)
한 점을 찾고 위에서 배운 공식을 쓰면 됩니다.
먼저 확인을 하면, 두 평면의 법선벡터
두 평면 사이의 거리
첫째 평면의 방정식에서
와 같습니다.
따라서 두 평면 사이의 거리는
P6)

직선
를 가진다. 이들 사이의 거리를 구하시오.
(단, 두 직선은 꼬인 위치에 있다.
또한
*상당히 어려우니 오른쪽 그림을 참조할 것
Sol.
이 점을 모르면 문제를 풀기 매우 까다롭습니다.
점과 직선 사이 거리 공식을 쓰기에는, 정확히 어떤 지점이 최솟값인지 알수가 없기 때문입니다. (특히 3차원에서)
따라서
두 평면의 공동인 법선벡터는
(두 벡터는 두 평면 위에 있음 -> 두 평면은 평행함 -> 두 벡터를 외적하면 자명하게 법선벡터가 나옴)
따라서 법선벡터는 다음과 같습니다.
법선벡터와 한 점을 알았으니, 평면
이제
방정식
따라서
따라서 거리는 다음과 같습니다.
수고하셨습니다. 다음 시간에는 주면과 이차곡면에 대해 알아보겠습니다.
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