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기초공학과목/미분적분학(2)

[미분적분학(2) 개념 정리] 11.5 (2) 평면의 방정식(equation of the plane)

목차

1. 평면의 방정식
평면의 스칼라방정식(scalar equation of the plane)
두 평면 사의의 각
2. 평면에서의 거리
한 점과 평면 사이의 거리 공식
 

증명이나 해설은 더보기를 눌러 확인할 수 있습니다!


평면의 방정식

3차원에 있는 직선은 점과 방향으로 결정된다 하더라도, 3차원의 평면은 식으로 결정하기가 까다롭습니다.
즉, 평면에 평행인 한 벡터로 평면의 '방향'을 나타내기에는 불충분합니다.
그러나 평면에 수직인 벡터는 평면의 방향을 완벽하게 나타낼 수 있습니다. (평면당 단 한개 존재하므로)

평면의 방정식

따라서 공간상에서 평면은 평면 위의 한 점 P0(x0,y0,z0)P0(x0,y0,z0)이 평면에 수직인 벡터 nn 두 가지 만으로 결정 됩니다.
이때 수직인 벡터 nn평면의 법선벡터(normal vector)라 합니다.

Def. 평면의 스칼라방정식(scalar equation of the plane)

 

평면 위의 한 점 P0(x0,y0,z0)P0(x0,y0,z0) 을 지나고, 법선벡터가 n=a,b,cn=a,b,c 인 평면의 스칼라방정식(scalar equation of the plane)은 다음과 같다.
a(xx0)+b(yy0)+c(zz0)=0a(xx0)+b(yy0)+c(zz0)=0

 

cf) 식 ax+by+cz+d=0ax+by+cz+d=0x,y,zx,y,z 에 관한 평면의 선형방정식(linear
equation)이라 한다. 여기서 d=(ax0+by0+cz0)d=(ax0+by0+cz0) 이다.

 
증명은 더보기를 눌러 확인하실 수 있습니다.

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평면의 방정식

P(x,y,z)P(x,y,z) 를 평면 안의 임의의 점이라 합시다.

그림처럼 r0r0rrP0P0PP 의 위치벡터라 하면, 벡터 rr0rr0P0PP0P 로 표현될 수 있습니다.

 

또한 법선벡터 nn 은 주어진 평면 안의 모든 벡터에 수직입니다.

따라서 nnrr0rr0 과 수직이므로 다음을 얻습니다.
n(rr0)=0n(rr0)=0
이항하여 적절히 정리하면,
nr=nr0nr=nr0
이를 평면의 벡터방정식(vector equation of the plane)이라 합니다.

 

평면의 스칼라방정식을 얻기 위해 모두 성분으로 고쳐서 대입해봅시다.

n=a,b,c,r=x,y,z,r0=x0,y0,z0n=a,b,c,r=x,y,z,r0=x0,y0,z0 라 하면, 위의 첫번 방정식은,
a,b,cxx0,yy0,zz0=0a,b,cxx0,yy0,zz0=0
이고, 내적하여 다음을 얻습니다.

a(xx0)+b(yy0)+c(zz0)=0a(xx0)+b(yy0)+c(zz0)=0


P1)

(2,4,1)(2,4,1) 을 지나고 법선벡터가 n=2,3,4n=2,3,4 인 평면의 방정식을 구하라. 절편을 구하고 그래프를 그려라. (제1팔분공간에 한정해서 그리시오)

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Sol.

위에서 배운 공식을 사용하면,

a=2,b=3,c=4,x0=2,y0=4,z0=1a=2,b=3,c=4,x0=2,y0=4,z0=1 이므로, 평면의 방정식은,
2(x2)+3(y4)+4(z+1)=02x+3y+4z=12

입니다.

x 절편을 구하기 위해 이 방정식에 y=z=0 이라 놓으면 x=6 을 얻을 수 있습니다.

마찬가지로 y 절편은 4,z 절편은 3 입니다.

이 결과를 통해 제 1 팔분공간에 있는 평면의 일부분을 그릴 수 있습니다.

예제 4 Sol.

P2)

P(1,3,2),Q(3,1,6),R(5,2,0) 을 지나는 평면의 방정식을 구하라.
(Hint: 평면 위의 두 벡터를 사용하세요)

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Sol.

평면 위의 두 벡터를 외적하면, 평면에 수직인 벡터 하나가 나옵니다.

이걸 사용해서 평면의 방정식을 구할 수 있겠죠? (외적 파트 참고)

PQPR 에 대응되는 벡터 ab 는 다음과 같습니다.

임의로 ab 로 둡시다.

a=2,4,4,b=4,1,2

 

따라서 ab 가 모두 평면 안에 놓여 있으므로 외적 a×b 는 평면에 수직이며 법선벡터로 사용할 수 있습니다.

외적하면,
n=a×b=|ijk244412|=12i+20j+14k

가 되고, 한 점 P(1,3,2) 와 법선벡터 n를 모두 알았기 때문에 식을 세울 수 있습니다.

평면의 방정식은 다음과 같습니다.
12(x1)+20(y3)+14(z2)=0

또는 다음과 같이 풀어서 써도 됩니다.

6x+10y+7z=50

P3)

매개변수방정식 x=2+3t,y=4t,z=5+t 로 주어진 직선이 평면 4x+ 5y2z=18 과 만나는 점을 구하라.

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Sol.

바로 매개변수방정식에서 x,y,z 를 평면의 방정식에 대입하면 되겠죠?
4(2+3t)+5(4t)2(5+t)=18

이제 이걸 정리하면 10t=20 이므로 t=2 입니다.

따라서 만나는 점은 매개변수의 값이 t=2 일 때 생깁니다.

그러면 x=2+3(2)=4,y=4(2)=8,z=52=3 이 므로 교점은 (4,8,3) 입니다.


두 평면의 평행, 사잇각 구하기

법선벡터가 평행일 때 두 평면은 평행(parallel)입니다.(당연하겠죠!)
예를 들어 평면 x+2y3z =42x+4y6z=3 은 그 법선벡터가 n1=1,2,3,n2=2,4,6 이고 n2 =2n1 이므로 평행입니다.
 
그런데, 두 평면이 평행이 아니면 한 직선에서 만나게 되고,이때 두 평면 사이 의 각은 법선벡터 사이의 예각으로 정의됩니다.

두 평면 사이의 각
두 평면 사이의 각

 

Cor. 두 평면 사의의 각

두 평면의 법선벡터가 n1, n2 일 때, 평행하지 않으면

두 평면 사이의 각은,

θ=cos1(n1n2|n1||n2|)

이다.

*벡터의 내적의 크기를 사용해서 사잇각을 구한 것입니다.

 
*이 내용은 수식으로 이해하기 정말 어려우니 그림을 참고해서 직접 그려서 이해해 보세요!
(내적의 정의를 사용한 겁니다! 두 벡터 사잇각은 내적을 활용하여 구하는 것이 가장 편해요)


P4)

(a) 평면 x+y+z=1x2y+3z=1 사이의 각을 구하라.
(b) 이 두 평면의 교선 L 의 대칭방정식을 구하라.
*이 문제는 정말 중요합니다. 아래 그림을 참조해서 풀어보세요!

법선벡터의 외적은 교선의 방향벡터와 방향이 같다.

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Sol.

P4 sol.


(a) 두 평면의 법선벡터는, 아래와 같습니다.


n1=1,1,1,n2=1,2,3

또한 평면 사이의 각을 θ 라 하면, 내적의 정의와 평면의 사잇각의 계산에 의해
cosθ=n1n2|n1||n2|=1(1)+1(2)+1(3)1+1+11+4+9=242θ=cos1(242)72

입니다.
(b) 대칭방정식을 알기 위해서는, 한 점과 방향수(기울기벡터)가 필요합니다.

 

먼저 L 위의 한 점을 구합시다.

두 평면의 방정식에서 z=0 이라 놓음으로써 각 평면과 xy평면과 만나는 직선을 구할 수 있습니다.

또한, 이 직선 두 개를 연립함으로써 교점을 구할 수가 있겠죠?

*연산을 두 번 한다는 겁니다! 각 평면에서 z를 고정시키고, 두 직선을 구한 뒤에, 그 직선들의 교점을 구하는 겁니다.

 

따라서 z=0 에서 방정식 x+y=1x2y=1 을 얻고,

그 해는 x=1,y=0 입니다.

직선 L 위의 점 (1,0,0)을 알았습니다.

이때 L 이 두 평면에 있으므로, L 은 두 법선벡터에 모두 수직입니다.

(이해하기 정말 까다로워서 아래에 그림을 첨부하였습니다! 꼭 잘 봐주세요!)

법선벡터의 외적은 교선의 방향벡터와 방향이 같다.

따라서 L 위에 평행 인 벡터 v 는 다음 외적과 같습니다.
v=n1×n2=|ijk111123|=5i2j3k

따라서 L 의 대칭방정식은 다음과 같습니다.
x15=y2=z3

위 문제와 관련하여 알 수 있는 사항입니다. 참고하시기 바랍니다.
cf)x,y,z 에 관한 선형방정식은 평면을 나타내고, 평행하지 않은 두 평면은 한 직선에서 만나므로, 두 선형방정식은 한 직선을 나타낼 수 있다. a1x+b1y+c1z+d1=0a2x+b2y+c2z+d2=0 을 모두 만족하는 점 (x,y,z) 는 이 두 평면에 있다. 따라서 한 쌍의 선형방정식은 평면(평행하지 않은 경우)의 교선을 나타낸다. 에를 들면 위 예제에서 에서 직선 L 은 평면 x+y+z=1x2y+3z=1 의 교선이다. 이미 구한 L 의 대칭 방정식은 다음과 같이 다시 한 쌍의 선형방정식으로 쓸 수 있다.
x15=y2,y2=z3

이것은 L 이 두 평면 (x1)/5=y/(2)y/(2)=z/(3) 의 교선임을 의미한다
일반적으로 직선의 방정식을 다음과 같은 대칭형으로 나타내면
xx0a=yy0b=zz0c

그 직선은 다음과 같은 두 평면의 교선으로 생각할 수 있다.
xx0a=yy0b,yy0b=zz0c


평면에서의 거리

xy좌표계에서, 한 점과 직선 사이의 거리 공식이 기억나시나요?
3차원 좌표계에서도 이와 비슷한 한 점과 평면 사이의 거리 공식이 있습니다.

Def. 한 점과 평면 사이의 거리 공식(The distance from the point to the plane)

P1(x1,y1,z1) 에서 평면 ax+by+cz+d=0 까지 거리는 다음과 같다.
D=|ax1+by1+cz1+d|a2+b2+c2

증명은 다음과 같습니다.

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한 점과 평면 사이의 거리 공식

P1(x1,y1,z1) 에서 평면 ax+by+cz+d=0 까지의 기리 D 에 관한 식을 구해 봅시다.

 

P0(x0,y0,z0) 을 주어진 평면 위의 임의의 점이라 하고 bP0P1 에 대응하는 벡터라 하면 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
b=x1x0,y1y0,z1z0

그림에서 P1 에서 평면까지의 거리 D 는 법선벡터 n=a,b,c 위로 b 의 스칼라 사영의 절댓값과 같음을 알 수 있으므로(11.3절 참조) 다음을 얻을 수 있습니다.

 

D=|compnb|=|nb||n|=|a(x1x0)+b(y1y0)+c(z1z0)|a2+b2+c2=|(ax1+by1+cz1)(ax0+by0+cz0)|a2+b2+c2 이때 P0 이 평면 위에 있으므로 그 좌표는 평면의 방정식을 만족하고, 따라서 ax0+by0+ cz0+d=0 을 얻습니다. 그러므로 D 에 관한 식은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

D=|ax1+by1+cz1+d|a2+b2+c2


P5)
평행인 두 평면 10x+2y2z=55x+yz=1 사이의 거리를 구하라.

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Sol. 두 평면이 평행하므로, 사이의 거리를 구할 수 있는 겁니다. (평행하지 않으면 평면은 무조건 만납니다)

한 점을 찾고 위에서 배운 공식을 쓰면 됩니다.

먼저 확인을 하면, 두 평면의 법선벡터 10,2,25,1,1 이 평행이므로 두 평면은 평행임 을 알 수 있다.

 

두 평면 사이의 거리 D 를 구하기 위해 한 평면의 임의의 점을 선택하고 이 점에서 다른 평면까지의 거리를 구하면 됩니다.

첫째 평면의 방정식에서 y=z=0 이라 두면 10x=5 를 얼고, 따라서 (12,0,0) 를 얻을 수 있습니다. 이 점을 활용하면,점 (12,0,0) 과 평면 5x+yz1=0 사이의 거리는
D=|5(12)+1(0)1(0)1|52+12+(1)2=3233=36
와 같습니다.
따라서 두 평면 사이의 거리는 3/6 입니다.

 

P6)

꼬인 위치와 직선 평면

직선 L1L2 에 대하여, 각 직선은 매개변수방정식으로
L1:x=1+t,y=2+3t,z=4tL2:x=2s,y=3+s,z=3+4s
를 가진다. 이들 사이의 거리를 구하시오.
(단, 두 직선은 꼬인 위치에 있다.
또한 L1L2 가 서로 꼬인 위치의 직선이므로 이들은 평행한 두 평면 P1P2 에 있다고 할 수 있다.)
*상당히 어려우니 오른쪽 그림을 참조할 것
 
 
 

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Sol.

L1L2 가 서로 꼬인 위치의 직선이므로 이들은 평행한 두 평면 P1P2 에 있다고 할 수 있습니다.

이 점을 모르면 문제를 풀기 매우 까다롭습니다.

점과 직선 사이 거리 공식을 쓰기에는, 정확히 어떤 지점이 최솟값인지 알수가 없기 때문입니다. (특히 3차원에서)

 

따라서 L1L2 사이의 거리는 곧 P1P2 사이의 길이와 같습니다.

 

두 평면의 공동인 법선벡터는 v1=1,3,1(L1 의 방향)과 v2=2, 1,4 ( L2 의 방향)를 외적해야 합니다.

(두 벡터는 두 평면 위에 있음 -> 두 평면은 평행함 -> 두 벡터를 외적하면 자명하게 법선벡터가 나옴)

 

따라서 법선벡터는 다음과 같습니다.
n=v1×v2=|ijk131214|=13i6j5k

 

L2 의 아무 점이나 찾아봅시다.
L2 의 방정식에서 s=0 으로 놓으면 L2 의 점 (0,3,3) 을 얻을 수 있습니다.

법선벡터와 한 점을 알았으니, 평면 P2 의 방정식을 구할 수 있습니다.
13(x0)6(y3)5(z+3)=0 또는 13x6y5z+3=0

이제 L1 의 임의의 한 점을 구해서 평면과 점 거리공식을 쓰면 끝입니다.

 

방정식 L1 에서 t=0 으로 놓으면, P1 의 점 (1,2,4) 를 얻을 수 있습니다.

따라서 L1L2 사이의 거리는 (1,2,4) 에서 13x+6y5z+3=0 까지의 거리와 같습니다.

 

따라서 거리는 다음과 같습니다.

D=|13(1)6(2)5(4)+3|132+(6)2+(5)2=82300.53


수고하셨습니다. 다음 시간에는 주면과 이차곡면에 대해 알아보겠습니다.
 
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[미분적분학(2) 개념 정리] 11.5 (1) 직선의 방정식(equation of the line)

목차1. 직선의 방정식직선의 벡터 방정식, 매개변수방정식, 대칭방정식2. 선분(line segment)의 벡터방정식, 꼬인 위치(skew line)선분(line segment)의 벡터방정식두 직선의 위치 관계 확인시작하기 전에

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2024.08.11 - [기초공학과목/미분적분학(2)] - [미분적분학(2) 개념 정리] 11.6 주면과 이차곡면 (Cylinders and Quadric Surfaces)

 

[미분적분학(2) 개념 정리] 11.6 주면과 이차곡면 (Cylinders and Quadric Surfaces)

목차1. 주면(Cylinders)주면2. 이차곡면(Quadric Surfaces)이차곡면 증명이나 해설은 더보기를 눌러 확인할 수 있습니다! 꼭 한번씩 보시기 바랍니다.시작하기 전에미분적분학을 공부하러 오신 분들 환

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