[미분적분학(2) 개념 정리] 11.5 (2) 평면의 방정식(equation of the plane)

목차

1. 평면의 방정식
평면의 스칼라방정식(scalar equation of the plane)
두 평면 사의의 각
2. 평면에서의 거리
한 점과 평면 사이의 거리 공식
 

증명이나 해설은 더보기를 눌러 확인할 수 있습니다!

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평면의 방정식

3차원에 있는 직선은 점과 방향으로 결정된다 하더라도, 3차원의 평면은 식으로 결정하기가 까다롭습니다.
즉, 평면에 평행인 한 벡터로 평면의 '방향'을 나타내기에는 불충분합니다.
그러나 평면에 수직인 벡터는 평면의 방향을 완벽하게 나타낼 수 있습니다. (평면당 단 한개 존재하므로)

평면의 방정식

따라서 공간상에서 평면은 평면 위의 한 점 $P_0\left(x_0, y_0, z_0\right)$ 과 이 평면에 수직인 벡터 $\mathbf{n}$ 두 가지 만으로 결정 됩니다.
이때 수직인 벡터 $\mathbf{n}$ 을 평면의 법선벡터(normal vector)라 합니다.

Def. 평면의 스칼라방정식(scalar equation of the plane)

 

평면 위의 한 점 $P_0\left(x_0, y_0, z_0\right)$ 을 지나고, 법선벡터가 $\mathbf{n}=\langle a, b, c\rangle$ 인 평면의 스칼라방정식(scalar equation of the plane)은 다음과 같다.
$$
a\left(x-x_0\right)+b\left(y-y_0\right)+c\left(z-z_0\right)=0
$$

 

cf) 식 $a x+b y+c z+d=0$ 을 $x, y, z$ 에 관한 평면의 선형방정식(linear
equation)이라 한다. 여기서 $d=-\left(a x_0+b y_0+c z_0\right)$ 이다.

 
증명은 더보기를 눌러 확인하실 수 있습니다.

평면의 방정식

$P(x, y, z)$ 를 평면 안의 임의의 점이라 합시다.

그림처럼 $\mathbf{r}_0$ 과 $\mathbf{r}$ 를 $P_0$ 과 $P$ 의 위치벡터라 하면, 벡터 $\mathbf{r}-\mathbf{r}_0$ 은 $\overrightarrow{P_0 P}$ 로 표현될 수 있습니다.

 

또한 법선벡터 $\mathbf{n}$ 은 주어진 평면 안의 모든 벡터에 수직입니다.

따라서 $\mathbf{n}$ 은 $\mathbf{r}-\mathbf{r}_0$ 과 수직이므로 다음을 얻습니다.
$$
\mathbf{n} \cdot\left(\mathbf{r}-\mathbf{r}_0\right)=0
$$
이항하여 적절히 정리하면,
$$
\mathbf{n} \cdot \mathbf{r}=\mathbf{n} \cdot \mathbf{r}_0
$$
이를 평면의 벡터방정식(vector equation of the plane)이라 합니다.

 

평면의 스칼라방정식을 얻기 위해 모두 성분으로 고쳐서 대입해봅시다.

$\mathbf{n}=\langle a, b, c\rangle, \mathbf{r}=\langle x, y, z\rangle, \mathbf{r}_0=\left\langle x_0, y_0, z_0\right\rangle$ 라 하면, 위의 첫번 방정식은,
$$
\langle a, b, c\rangle \cdot\left\langle x-x_0, y-y_0, z-z_0\right\rangle=0
$$
이고, 내적하여 다음을 얻습니다.

$$
a\left(x-x_0\right)+b\left(y-y_0\right)+c\left(z-z_0\right)=0
$$

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P1)

점 $(2,4,-1)$ 을 지나고 법선벡터가 $\mathbf{n}=\langle 2,3,4\rangle$ 인 평면의 방정식을 구하라. 절편을 구하고 그래프를 그려라. (제1팔분공간에 한정해서 그리시오)

Sol.

위에서 배운 공식을 사용하면,

$a=2, b=3, c=4, x_0=2, y_0=4, z_0=-1$ 이므로, 평면의 방정식은,
$$
\begin{aligned}
2(x-2)+3(y-4)+4(z+1) & =0 \\
2 x+3 y+4 z & =12
\end{aligned}
$$

입니다.

$x$ 절편을 구하기 위해 이 방정식에 $y=z=0$ 이라 놓으면 $x=6$ 을 얻을 수 있습니다.

마찬가지로 $y$ 절편은 $4, z$ 절편은 $3$ 입니다.

이 결과를 통해 제 1 팔분공간에 있는 평면의 일부분을 그릴 수 있습니다.

예제 4 Sol.

P2)

점 $P(1,3,2), Q(3,-1,6), R(5,2,0)$ 을 지나는 평면의 방정식을 구하라.
(Hint: 평면 위의 두 벡터를 사용하세요)

Sol.

평면 위의 두 벡터를 외적하면, 평면에 수직인 벡터 하나가 나옵니다.

이걸 사용해서 평면의 방정식을 구할 수 있겠죠? (외적 파트 참고)

$\overrightarrow{P Q}$ 와 $\overrightarrow{P R}$ 에 대응되는 벡터 $\mathbf{a}$ 와 $\mathbf{b}$ 는 다음과 같습니다.

임의로 $\mathbf{a}$ 와 $\mathbf{b}$ 로 둡시다.

$$
\mathbf{a}=\langle 2,-4,4\rangle, \quad \mathbf{b}=\langle 4,-1,-2\rangle
$$

 

따라서 $\mathbf{a}$ 와 $\mathbf{b}$ 가 모두 평면 안에 놓여 있으므로 외적 $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$ 는 평면에 수직이며 법선벡터로 사용할 수 있습니다.

외적하면,
$$
\mathbf{n}=\mathbf{a} \times \mathbf{b}=\left|\begin{array}{rrr}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
2 & -4 & 4 \\
4 & -1 & -2
\end{array}\right|=12 \mathbf{i}+20 \mathbf{j}+14 \mathbf{k}
$$

가 되고, 한 점 $P(1,3,2)$ 와 법선벡터 $\mathbf{n}$를 모두 알았기 때문에 식을 세울 수 있습니다.

평면의 방정식은 다음과 같습니다.
$$
12(x-1)+20(y-3)+14(z-2)=0
$$

또는 다음과 같이 풀어서 써도 됩니다.

$$
6 x+10 y+7 z=50
$$

P3)

매개변수방정식 $x=2+3 t, y=-4 t, z=5+t$ 로 주어진 직선이 평면 $4 x+$ $5 y-2 z=18$ 과 만나는 점을 구하라.

Sol.

바로 매개변수방정식에서 $x, y, z$ 를 평면의 방정식에 대입하면 되겠죠?
$$
4(2+3 t)+5(-4 t)-2(5+t)=18
$$

이제 이걸 정리하면 $-10 t=20$ 이므로 $t=-2$ 입니다.

따라서 만나는 점은 매개변수의 값이 $t=-2$ 일 때 생깁니다.

그러면 $x=2+3(-2)=-4, y=-4(-2)=8, z=5-2=3$ 이 므로 교점은 $(-4,8,3)$ 입니다.

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두 평면의 평행, 사잇각 구하기

법선벡터가 평행일 때 두 평면은 평행(parallel)입니다.(당연하겠죠!)
예를 들어 평면 $x+2 y-3 z$ $=4$ 와 $2 x+4 y-6 z=3$ 은 그 법선벡터가 $\mathbf{n}_1=\langle 1,2,-3\rangle, \mathbf{n}_2=\langle 2,4,-6\rangle$ 이고 $\mathbf{n}_2$ $=2 n_1$ 이므로 평행입니다.
 
그런데, 두 평면이 평행이 아니면 한 직선에서 만나게 되고,이때 두 평면 사이 의 각은 법선벡터 사이의 예각으로 정의됩니다.

두 평면 사이의 각

 

Cor. 두 평면 사의의 각

두 평면의 법선벡터가 $\mathbf{n}_1$, $\mathbf{n}_2$ 일 때, 평행하지 않으면

두 평면 사이의 각은,

$$
\theta=\cos^{-1}\left(\frac{\mathbf{n}_1 \cdot \mathbf{n}_2}{\left|\mathbf{n}_1\right|\left|\mathbf{n}_2\right|}\right)
$$

이다.

*벡터의 내적의 크기를 사용해서 사잇각을 구한 것입니다.

 
*이 내용은 수식으로 이해하기 정말 어려우니 그림을 참고해서 직접 그려서 이해해 보세요!
(내적의 정의를 사용한 겁니다! 두 벡터 사잇각은 내적을 활용하여 구하는 것이 가장 편해요)

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P4)

(a) 평면 $x+y+z=1$ 과 $x-2 y+3 z=1$ 사이의 각을 구하라.
(b) 이 두 평면의 교선 $L$ 의 대칭방정식을 구하라.
*이 문제는 정말 중요합니다. 아래 그림을 참조해서 풀어보세요!

법선벡터의 외적은 교선의 방향벡터와 방향이 같다.

Sol.

P4 sol.

(a) 두 평면의 법선벡터는, 아래와 같습니다.

$$
\mathbf{n}_1=\langle 1,1,1\rangle, \quad \mathbf{n}_2=\langle 1,-2,3\rangle
$$

또한 평면 사이의 각을 $\theta$ 라 하면, 내적의 정의와 평면의 사잇각의 계산에 의해
$$
\begin{aligned}
\cos \theta & =\frac{\mathbf{n}_1 \cdot \mathbf{n}_2}{\left|\mathbf{n}_1\right|\left|\mathbf{n}_2\right|}=\frac{1(1)+1(-2)+1(3)}{\sqrt{1+1+1} \sqrt{1+4+9}}=\frac{2}{\sqrt{42}} \\
\theta & =\cos ^{-1}\left(\frac{2}{\sqrt{42}}\right) \approx 72^{\circ}
\end{aligned}
$$

입니다.
(b) 대칭방정식을 알기 위해서는, 한 점과 방향수(기울기벡터)가 필요합니다.

 

먼저 $L$ 위의 한 점을 구합시다.

두 평면의 방정식에서 $z=0$ 이라 놓음으로써 각 평면과 $x y$평면과 만나는 직선을 구할 수 있습니다.

또한, 이 직선 두 개를 연립함으로써 교점을 구할 수가 있겠죠?

*연산을 두 번 한다는 겁니다! 각 평면에서 $z$를 고정시키고, 두 직선을 구한 뒤에, 그 직선들의 교점을 구하는 겁니다.

 

따라서 $z=0$ 에서 방정식 $x+y=1$ 과 $x-2 y=1$ 을 얻고,

그 해는 $x=1, y=0$ 입니다.

직선 $L$ 위의 점 $(1,0,0)$을 알았습니다.

이때 $L$ 이 두 평면에 있으므로, $L$ 은 두 법선벡터에 모두 수직입니다.

(이해하기 정말 까다로워서 아래에 그림을 첨부하였습니다! 꼭 잘 봐주세요!)

법선벡터의 외적은 교선의 방향벡터와 방향이 같다.

따라서 $L$ 위에 평행 인 벡터 $\mathbf{v}$ 는 다음 외적과 같습니다.
$$
\mathbf{v}=\mathbf{n}_1 \times \mathbf{n}_2=\left|\begin{array}{rrr}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
1 & 1 & 1 \\
1 & -2 & 3
\end{array}\right|=5 \mathbf{i}-2 \mathbf{j}-3 \mathbf{k}
$$

따라서 $L$ 의 대칭방정식은 다음과 같습니다.
$$
\frac{x-1}{5}=\frac{y}{-2}=\frac{z}{-3}
$$

위 문제와 관련하여 알 수 있는 사항입니다. 참고하시기 바랍니다.
cf)$x, y, z$ 에 관한 선형방정식은 평면을 나타내고, 평행하지 않은 두 평면은 한 직선에서 만나므로, 두 선형방정식은 한 직선을 나타낼 수 있다. $a_1 x+b_1 y+c_1 z+d_1=0$ 과 $a_2 x+b_2 y+c_2 z+d_2=0$ 을 모두 만족하는 점 $(x, y, z)$ 는 이 두 평면에 있다. 따라서 한 쌍의 선형방정식은 평면(평행하지 않은 경우)의 교선을 나타낸다. 에를 들면 위 예제에서 에서 직선 $L$ 은 평면 $x+y+z=1$ 과 $x-2 y+3 z=1$ 의 교선이다. 이미 구한 $L$ 의 대칭 방정식은 다음과 같이 다시 한 쌍의 선형방정식으로 쓸 수 있다.
$$
\frac{x-1}{5}=\frac{y}{-2}, \quad \frac{y}{-2}=\frac{z}{-3}
$$

이것은 $L$ 이 두 평면 $(x-1) / 5=y /(-2)$ 와 $y /(-2)=z /(-3)$ 의 교선임을 의미한다
일반적으로 직선의 방정식을 다음과 같은 대칭형으로 나타내면
$$
\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}
$$

그 직선은 다음과 같은 두 평면의 교선으로 생각할 수 있다.
$$
\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}, \quad \frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}
$$

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평면에서의 거리

$xy$좌표계에서, 한 점과 직선 사이의 거리 공식이 기억나시나요?
3차원 좌표계에서도 이와 비슷한 한 점과 평면 사이의 거리 공식이 있습니다.

Def. 한 점과 평면 사이의 거리 공식(The distance from the point to the plane)

점 $P_1\left(x_1, y_1, z_1\right)$ 에서 평면 $a x+b y+c z+d=0$ 까지 거리는 다음과 같다.
$$
D=\frac{\left|a x_1+b y_1+c z_1+d\right|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}
$$

증명은 다음과 같습니다.

한 점과 평면 사이의 거리 공식

점 $P_1\left(x_1, y_1, z_1\right)$ 에서 평면 $a x+b y+c z+d=0$ 까지의 기리 $D$ 에 관한 식을 구해 봅시다.

 

$P_0\left(x_0, y_0, z_0\right)$ 을 주어진 평면 위의 임의의 점이라 하고 $\mathbf{b}$ 를 $\overrightarrow{P_0 P_1}$ 에 대응하는 벡터라 하면 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
$$
\mathbf{b}=\left\langle x_1-x_0, y_1-y_0, z_1-z_0\right\rangle
$$

그림에서 $P_1$ 에서 평면까지의 거리 $D$ 는 법선벡터 $\mathbf{n}=\langle a, b, c\rangle$ 위로 $b$ 의 스칼라 사영의 절댓값과 같음을 알 수 있으므로(11.3절 참조) 다음을 얻을 수 있습니다.

 

$$
\begin{aligned}
D & =\left|\operatorname{comp}_{\mathbf{n}} \mathbf{b}\right|=\frac{|\mathbf{n} \cdot \mathbf{b}|}{|\mathbf{n}|} \\
& =\frac{\left|a\left(x_1-x_0\right)+b\left(y_1-y_0\right)+c\left(z_1-z_0\right)\right|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}} \\
& =\frac{\left|\left(a x_1+b y_1+c z_1\right)-\left(a x_0+b y_0+c z_0\right)\right|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}
\end{aligned}
$$ 이때 $P_0$ 이 평면 위에 있으므로 그 좌표는 평면의 방정식을 만족하고, 따라서 $a x_0+b y_0+$ $c z_0+d=0$ 을 얻습니다. 그러므로 $D$ 에 관한 식은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

$$
D=\frac{\left|a x_1+b y_1+c z_1+d\right|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}
$$

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P5)
평행인 두 평면 $10 x+2 y-2 z=5$ 와 $5 x+y-z=1$ 사이의 거리를 구하라.

Sol. 두 평면이 평행하므로, 사이의 거리를 구할 수 있는 겁니다. (평행하지 않으면 평면은 무조건 만납니다)

한 점을 찾고 위에서 배운 공식을 쓰면 됩니다.

먼저 확인을 하면, 두 평면의 법선벡터 $\langle 10,2,-2\rangle$ 와 $\langle 5,1,-1\rangle$ 이 평행이므로 두 평면은 평행임 을 알 수 있다.

 

두 평면 사이의 거리 $D$ 를 구하기 위해 한 평면의 임의의 점을 선택하고 이 점에서 다른 평면까지의 거리를 구하면 됩니다.

첫째 평면의 방정식에서 $y=z=0$ 이라 두면 $10 x=5$ 를 얼고, 따라서 $\left(\frac{1}{2}, 0,0\right)$ 를 얻을 수 있습니다. 이 점을 활용하면,점 $\left(\frac{1}{2}, 0,0\right)$ 과 평면 $5 x+y-z-1=0$ 사이의 거리는
$$
D=\frac{\left|5\left(\frac{1}{2}\right)+1(0)-1(0)-1\right|}{\sqrt{5^2+1^2+(-1)^2}}=\frac{\frac{3}{2}}{3 \sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{6}
$$
와 같습니다.
따라서 두 평면 사이의 거리는 $\sqrt{3} / 6$ 입니다.

 

P6)

직선 $L_1$ 과 $L_2$ 에 대하여, 각 직선은 매개변수방정식으로
$$\begin{aligned}& L_1: x=1+t, \quad y=-2+3 t, \quad z=4-t \\& L_2: x=2 s, \quad y=3+s, \quad z=-3+4 s \\&\end{aligned}$$
를 가진다. 이들 사이의 거리를 구하시오.
(단, 두 직선은 꼬인 위치에 있다.
또한 $L_1$ 과 $L_2$ 가 서로 꼬인 위치의 직선이므로 이들은 평행한 두 평면 $P_1$ 과 $P_2$ 에 있다고 할 수 있다.)
*상당히 어려우니 오른쪽 그림을 참조할 것
 
 
 

Sol.

$L_1$ 과 $L_2$ 가 서로 꼬인 위치의 직선이므로 이들은 평행한 두 평면 $P_1$ 과 $P_2$ 에 있다고 할 수 있습니다.

이 점을 모르면 문제를 풀기 매우 까다롭습니다.

점과 직선 사이 거리 공식을 쓰기에는, 정확히 어떤 지점이 최솟값인지 알수가 없기 때문입니다. (특히 3차원에서)

 

따라서 $L_1$ 과 $L_2$ 사이의 거리는 곧 $P_1$ 과 $P_2$ 사이의 길이와 같습니다.

 

두 평면의 공동인 법선벡터는 $\mathbf{v}_1=\langle 1,3,-1\rangle\left(L_1\right.$ 의 방향)과 $\mathbf{v}_2=\langle 2$, $1,4\rangle$ ( $L_2$ 의 방향)를 외적해야 합니다.

(두 벡터는 두 평면 위에 있음 -> 두 평면은 평행함 -> 두 벡터를 외적하면 자명하게 법선벡터가 나옴)

 

따라서 법선벡터는 다음과 같습니다.
$$
\mathbf{n}=\mathbf{v}_1 \times \mathbf{v}_2=\left|\begin{array}{rrr}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
1 & 3 & -1 \\
2 & 1 & 4
\end{array}\right|=13 \mathbf{i}-6 \mathbf{j}-5 \mathbf{k}
$$

 

$L_2$ 의 아무 점이나 찾아봅시다.
$L_2$ 의 방정식에서 $s=0$ 으로 놓으면 $L_2$ 의 점 $(0,3,-3)$ 을 얻을 수 있습니다.

법선벡터와 한 점을 알았으니, 평면 $P_2$ 의 방정식을 구할 수 있습니다.
$$
13(x-0)-6(y-3)-5(z+3)=0 \text { 또는 } 13 x-6 y-5 z+3=0
$$

이제 $L_1$ 의 임의의 한 점을 구해서 평면과 점 거리공식을 쓰면 끝입니다.

 

방정식 $L_1$ 에서 $t=0$ 으로 놓으면, $P_1$ 의 점 $(1,-2,4)$ 를 얻을 수 있습니다.

따라서 $L_1$ 과 $L_2$ 사이의 거리는 $(1,-2,4)$ 에서 $13 x+6 y-5 z+3=0$ 까지의 거리와 같습니다.

 

따라서 거리는 다음과 같습니다.

$$
D=\frac{|13(1)-6(-2)-5(4)+3|}{\sqrt{13^2+(-6)^2+(-5)^2}}=\frac{8}{\sqrt{230}} \approx 0.53
$$

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수고하셨습니다. 다음 시간에는 주면과 이차곡면에 대해 알아보겠습니다.
 
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[미분적분학(2) 개념 정리] 11.5 (1) 직선의 방정식(equation of the line)

 
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[미분적분학(2) 개념 정리] 11.6 주면과 이차곡면 (Cylinders and Quadric Surfaces)