[미분적분학(2) 개념 정리] 11.5 (1) 직선의 방정식(equation of the line)

목차

1. 직선의 방정식

직선의 벡터 방정식, 매개변수방정식, 대칭방정식

2. 선분(line segment)의 벡터방정식, 꼬인 위치(skew line)

선분(line segment)의 벡터방정식

두 직선의 위치 관계 확인

---

직선의 방정식

직선의 방정식을 $xy$평면이 아닌, 3차원 좌표계에서 나타내는 방법은 3가지가 있습니다.

벡터 방정식, 매개변수방정식, 대칭방정식입니다.

먼저 벡터 방정식은, 벡터로 직선을 나타낸 방정식입니다.

 

직선의 벡터 방정식

Def.

직선의 벡터 방정식(vector equation for a line )은 다음과 같다.

$$
\mathbf{r}=\mathbf{r}_0+t \mathbf{v}
$$

이때, ${\mathbf{r}}_0$ 는 직선 위의 한 점, $\mathbf{v}$는 직선의 기울기 벡터(방향벡터),  $t$는 매개변수이다.

증명은 위 그림을 참조하여 할 수 있습니다! 

$xy$ 평면에서 직선은 직선의 한 점과 직신의 방향(기울기 또는 경사각)이 주어지면 결정되었죠.

이 경우 직선의 방정식은 점-기울기 두 가지를 이용해서 세울 수 있었습니다.

직선의 벡터 방정식

마찬가지로 이를 똑같이 적용할 것입니다.

임의의 직선 $L$ 의 한 점 $P_0(x_0,y_0,z_0)$ 과, 직선에 평행한 백터 $\mathbf{v}$(즉, 기울기 벡터)에 의 해 결정되는 $L$ 의 방향을 알면 3차원 공간에서 직선 $L$ 이 결정됩니다.

 

$P(x,y,z)$ 를 $L$ 위의 임의의 점이라고 가정합시다. 

그리고, 그림과 같이 ${\mathbf{r}}_0$ 과 $\mathbf{r}$ 를 각각 $P_0$ 과 $P$ 의 위치벡터(즉, ${\mathbf{r}}_0$ 과 $\mathbf{r}$ 는 $\overrightarrow{O{P}_0}$ 과 $\overrightarrow{OP}$ 를 나타낸다고 합시다)라 가정합시다.

그렇게 되면  $\mathbf{a}$ 가 $\overrightarrow{P_{0}P}$ 로 표현될 수 있습니다.

그래서 벡터의 삼각형 법칙으로부터

$\mathbf{r}={\mathbf{r}}_0+\mathbf{a}$ 를 얻습니다.

 

그런데 $\mathbf{a}$ 와 $\mathbf{v}$ 가 평행인 벡터이므로 $\mathbf{a}=t\mathbf{v}$ 를 만족하는 스칼라 $t$ 가 존재합니다. 따라서 $L$ 의 벡터방정식(vector equation)은 다음과 같습니다.

$$\mathbf{r}={\mathbf{r}}_0+t\mathbf{v}$$

또한 매개변수 방정식 한 점과 기울기를 사용하여 구할 수 있습니다.

 

벡터 방정식에서 확장된 형태이며, 실제로 문제들을 풀 때는 대부분 이 식을 사용합니다.

다루기도 제일 편리한 식이어서 정말 중요합니다.

일차함수 때와 마찬가지로 한 점과 기울기를 알 수 있어서, 직선의 방정식을 구할 수 있는 겁니다!

Def. 직선의 매개변수 방정식 (Parametric equations for a line)

점 $(x_0,y_0,z_0)$ 을 지나고 방향벡터 $⟨a,b,c⟩$ 와 평행인 직선의 매개변수방정식은 다음과 같다.
$$x=x_0+at,y=y_0+bt,z=z_0+ct$$

 

증명은 위의 벡터 방정식을 성분으로 표현한 것이 끝입니다.

 

매개변수 방정식

위에서 유도했던 것처럼 매개변수(parameter) $t$ 의 값에 따라 직선 $L$ 위의 점에 대한 위치벡터 $\mathbf{r}$ 가 정해집니다. 즉, $t$ 가 변함에 따라 벡터 $\mathbf{r}$ 의 종점의 자취가 직선을 그립니다. (그림 참조)

예를 들어 $t$ 의 양수값에는 $P_0$ 의 한쪽에 있는 $L$ 의 점이 대응되지만, $t$ 의 음수값에는 $P_0$ 의 다른 한쪽에 있는 $L$ 의 점이 대응됩니다.

 

이제 성분을 사용하면 증명이 끝납니다.
직선 $L$ 의 방향을 정해 주는 벡터 $\mathbf{v}$ 를 성분을 이용해서 $\mathbf{v}=⟨a,b,c⟩$ 와 같이 쓰면, $t\mathbf{v}=⟨ta,tb,tc⟩$ 입니다. 또한 $\mathbf{r}=⟨x,y,z⟩$ 와 ${\mathbf{r}}_0=⟨x_0,y_0,z_0⟩$ 로 쓸 수 있으므로 위 벡터 방정식을 성분으로 표현하면,
$$⟨x,y,z⟩=⟨x_0+ta,y_0+tb,z_0+tc⟩$$
가 됩니다.

두 벡터가 같기 위한 필요충분조건은 대응하는 성분들이 같아야 한다는 것을 생각하면, $t\in \mathbb{R}$ 일 때 다음과 같은 세 개의 스칼라방정식을 얻을 수 있습니다.( $t$가 실수일 때)
$$x=x_0+at,y=y_0+bt,z=z_0+ct$$

 

---

P1)

예제 1번 직선의 벡터방정식

(a) 점 $(5,1,3)$ 을 지나고 벡터 $\mathbf{i}-4\mathbf{j}-2\mathbf{k}$ 에 평행인 직선의 벡터방정식과 매개변수방정식을 구하시오.
(b) 직선 위의 다른 두 점을 구하시오.

(둘 다 답은 유일하지 않다.)

Sol.

(a)

직선 위의 한 점 ${\mathbf{r}}_0=⟨5,1,3⟩=5\mathbf{i}+\mathbf{j}+3\mathbf{k}$

기울기 벡터(방향벡터) $\mathbf{v}=\mathbf{i}+4\mathbf{j}-2\mathbf{k}$

이므로, 벡터방정식은 다음과 같습니다.
$$\begin{array}{ll}& \mathbf{r}=(5\mathbf{i}+\mathbf{j}+3\mathbf{k})+t(\mathbf{i}+4\mathbf{j}-2\mathbf{k})\\ \text{ 즉 }& \mathbf{r}=(5+t)\mathbf{i}+(1+4t)\mathbf{j}+(3-2t)\mathbf{k}\end{array}$$

매개변수방정식 벡터방정식을 성분으로 표현한 것이므로,
$$x=5+t,y=1+4t,z=3-2t$$

입니다.
(b)

$t$에 아무 숫자 두 개를 대입하면 됩니다.

매개변수의 값을 $t=1$ 로 선택하면 $x=6,y=5,z=1$ 이므로 $(6,5,1)$ 은 직선 위의 점입니다. 마찬가지로 $t=-1$ 이면 점 $(4,-3,5)$ 를 얻을 수 있습니다.

위 예시처럼, 직선의 벡터방정식과 매개변수방정식은 유일하지 않습니다.

점이나 매개변수를 바꾸거나 평행인 다른 벡터를 선택하면 방정식은 달라집니다.

 

예를 들어 예제 1에 서 $(5,1,3)$ 대신에 점 $(6,5,1)$ 을 선택하면 직선의 매개변수방정식은 다음과 같이 변합니다.
$$x=6+t,y=5+4t,z=1-2t$$

또는 점 $(5,1,3)$ 을 그대로 두고, 평행인 벡터 $2\mathbf{i}+8\mathbf{j}-4\mathbf{k}$ 를 선택하면, 방정식은 다음과 같습니다.
$$x=5+2t,y=1+8t,z=3-4t$$

---

일반적으로 직선 $L$ 의 방향을 표시하는 데 벡터 $\mathrm{v}=⟨a,b,c⟩$ 를 이용합니다.

이때 수 $a,b$, $c$ 를 $L$ 의 방항수(direction number)라 합니다.

 

참고로 $v$ 에 평행인 임의의 벡터가 사용될 수 있으므로 $a,b,c$ 에 비례하는 세 수도 $L$ 의 방향수로 이용될 수 있습니다. 즉, 상수배가 가능합니다.

---

마지막으로 대칭방정식에 대해 알아보겠습니다.

대칭방정식은 매개변수 방정식에서 매개변수를 전부 소거하면 나옵니다.

Def. 직선의 대칭 방정식(symmetric equations for the line)

점 $(x_0,y_0,z_0)$ 을 지나고 방향벡터 $⟨a,b,c⟩$ 와 평행인 직선의 대칭 방정식 (symmetric equations for the line) 은 다음과 같다.

$$\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}$$

 

증명은 매개변수 방정식에서 매개변수를 소거하는 식으로 할 수 있습니다. (더 보기를 눌러 확인하세요)

$$x=x_0+at,y=y_0+bt,z=z_0+ct$$

으로부터, $a$, $b,c$ 중 어느 것도 0이 아니면, 각 방정식을 $t$ 에 관해 풀 수 있으므로 그 결과를 같게 하면 다음 식을 얻을 수 있습니다.
$$\begin{array}{c}t=\frac{x-x_0}{a},t=\frac{y-y_0}{b},t=\frac{z-z_0}{c}\end{array}$$

 

이때 $t$를 모두 같게 놓으면, 

$$\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}$$

가 됩니다.

이때, 만약 $a=0$이면 어떻게 될까요? 그래도 대칭방정식으로 표현이 가능합니다.

만약 $a=0$ 이면 $L$ 의 대칭방정식은 다음과 같습니다.
$$x=x_0,\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}$$

이것은 $L$ 이 수직평면 $x=x_0$ 안에 놓여 있음을 의미합니다.

 

---

P2)

(a) 점 $A(2,4,-3)$ 과 $B(3,-1,1)$ 을 지나는 직선의 매개변수방정식과 대칭방정식을 구하라.
(b) 이 직선은 어느 점에서 $xy$ 평면과 만나는가?

Sol.

(a) 직선과 평행인 벡터가 바로 주어져 있지는 않지만,

$\overrightarrow{AB}$ 로 표현되는 벡터 $\mathbf{v}$ 가 직선의 기울기임을 알 수 있습니다.

벡터의 성질을 사용하여 $\mathbf{v}$를 구하면,
$$\mathbf{v}=⟨3-2,-1-4,1-(-3)⟩=⟨1,-5,4⟩$$

입니다. 따라서 방향수는 $a=1,b=-5,c=4$ 임을 알 수 있습니다.

직선 위의 한 점 $(2,4,-3)$ 을 $P_0$으로 두면, 매개변수방정식은, 
$$x=2+t,y=4-5t,z=-3+4t$$
입니다.

대칭방정식은,
$$\frac{x-2}{1}=\frac{y-4}{-5}=\frac{z+3}{4}$$

입니다. (모두 공식을 그대로 사용합니다)

(b) $z=0$ 일 때 직선은 $xy$ 평면과 만납니다.

매개변수방정식으로부터 $z=-3+4t=0$, 즉 $t=\frac{3}{4}$ 을 얻을 수 있습니다.

따라서 이 매개변수를 모든 좌표에 대입하면

$x=2+\frac{3}{4}=\frac{11}{4}$ 이고 $y=4-5\left(\frac{3}{4}\right)=\frac{1}{4}$ 이므로

직선이 $xy$ 평면과 만나는 점은 $(\frac{11}{4},\frac{1}{4},0)$ 입니다.

cf) 대칭방정식을 사용하여 $z=0$이라 놓으면, 대칭방정식은
$$\frac{x-2}{1}=\frac{y-4}{-5}=\frac{3}{4}$$
와 같습니다.
이로부터 $x=\frac{11}{4},y=\frac{1}{4}$ 을 얻는다.

cf) 일반적으로 에제 2와 같이 점 $P_0(x_0,y_0,z_0)$ 과 $P_1(x_1,y_1,z_1)$ 을 지나는 직선 $L$ 의 방 향수는 $x_1-x_0,y_1-y_0,z_1-z_0$이다. 따라서 $L$ 의 대칭방정식은 다음과 같습니다.
$$\frac{x-x_0}{x_1-x_0}=\frac{y-y_0}{y_1-y_0}=\frac{z-z_0}{z_1-z_0}$$

---

선분(line segment)의 벡터방정식, 꼬인 위치(skew line)

가끔씩, 직선 전체가 아닌 그 일부분인 선분의 값이 필요할 때가 있습니다.

예를 들면, 점 $A(2,4,-3)$ 과 $B(3,-1,1)$  의 선분 $AB$ 를 어떻게 설명할 수 있을까요?

 

방법 1 : 단순히 매개변수/벡터방정식의 정의역을 제한합니다. ($0\le t\le 1$)
$$x=2+t,y=4-5t,z=-3+4t,0\le t\le 1$$
$$\mathbf{r}(t)=⟨2+t,4-5t,-3+4t⟩,0\le t\le 1$$

방법 2: 두 점을 알 때, 다음 공식을 사용합니다. (순서가 바뀌면 시점이 바뀌므로 조심합시다.)

Cor. 선분의 벡터방정식(the vector equation for line segment)

$$\mathbf{r}(t)=(1-t){\mathbf{r}}_0+t{\mathbf{r}}_1,0\le t\le 1$$

*매개변수 구간 제한을 잊으면 안 됩니다!

증명은 단순히 방향벡터(방향수)를 두 점을 사용해서 나타낸 것입니다.

(즉, 사실 방법 1, 2는 같은 개념을 사용한 것입니다.)

앞에서 배웠듯, 벡터 ${\mathbf{r}}_0$ 의 종점을 지나고 방향이 벡터 $\mathbf{v}$ 인 직선의 벡터 방정식은 $\mathbf{r}={\mathbf{r}}_0+t\mathbf{v}$ 임을 알 수 있습니다.

직선이 벡터 ${\mathbf{r}}_1$ 의 종점도 지나면 $\mathbf{v}={\mathbf{r}}_1-{\mathbf{r}}_0$ 을 택할 수 있고, 따라서 직선의 벡터방정식은 다음과 같습니다.
$$\mathbf{r}={\mathbf{r}}_0+t({\mathbf{r}}_1-{\mathbf{r}}_0)=(1-t){\mathbf{r}}_0+t{\mathbf{r}}_1$$
${\mathbf{r}}_0$ 에서 ${\mathbf{r}}_1$ 까지 이은 선분은 구간 $0\le t\le 1$ 안에서만 정의됩니다.

 

3차원 좌표계에서 두 직선은 만나거나, 평행하거나, 꼬인 위치(둘 다 아님)에 있을 수 있습니다.

평행한 것은 그냥 방향수를 비교해서 같으면 평행한 것일 텐데..

꼬인 위치나 만나는 것은 어떻게 판단할까요?

 

Tip. 두 직선의 위치 관계 확인

두 직선 ($f,g$)의 임의의 매개변수 방정식 (각 매개변수를 $t$, $s$라 한다)에 대해,

각 매개변수방정식을,

$$f_x(t),f_y(t),f_z(t)//g_x(s),g_y(s),g_z(s)$$

라 가정합시다.

 

1. 방향수가 같은 경우

두 직선은 평행(parallel)합니다.

 

2. 방향수가 다른 경우

먼저 만나는 점이 있다면, 그 점에서의 $x,y,z$좌표가 다 같을 것이기에,

연립방정식
$$f_x(t)=g_x(s),f_y(t)=f_y(s)$$

를 풀어서, 만족하는 $t,s$를 구합니다.

이때 이 $t,s$를 $z$에(즉,$f_z(t),g_z(s)$)  대입했을 때,

값이 같으면, 만난다.(intersect)

값이 다르면, 꼬인 위치이다.(skew line)

 

예제를 통해 확인해 봅시다.

---

P3)

매개변수방정식이 다음과 같은 직선 $L_1$ 과 $L_2$ 가 있다.
$$\begin{array}{rl}& L_1:x=1+t,y=-2+3t,z=4-t\\ & L_2:x=2s,y=3+s,z=-3+4s\\ & \end{array}$$
$L_1$ 과 $L_2$ 는 서로 꼬인 위치의 직선(skew line), 즉 두 직선은 만나지도 않고 평행하지도 않는 직선(같은 평면에 있지 않는) 임을 보여라.

Sol.

두 직선에 대응하는 방향벡터 $⟨1,3,-1⟩$ 과 $⟨2,1,4⟩$ 가 평행하지 않기 때문에 두 직선은 평행이 아닙니다.

만약, $L_1$ 과 $L_2$ 의 교점이 있다면, $t$ 와 $s$ 의 값이 존재해서 다음을 만족해야 합니다.(위 Tip 참고)
$$\begin{array}{rl}1+t& =2s\\ -2+3t& =3+s\\ 4-t& =-3+4s\end{array}$$

그러나 처음 두 방정식을 풀면 $t=\frac{11}{5}$ 와 $s=\frac{8}{5}$ 를 얻게 되는데, 이 값들은 셋째 방정식을 만족하지 않습니다. 따라서 세 방정식을 만족하는 $t$ 와 $s$ 의 값은 존재하지 않습니다. 그러므로 $L_1$ 과 $L_2$ 는 만나지 않기에, $L_1$ 과 $L_2$ 는 서로 꼬인 위치의 직선입니다.

읽어주셔서 감사합니다!

 

다음 시간엔 평면의 방정식을 다루어 보도록 하겠습니다 (분량이 너무 많아 반으로 나눴습니다)

 

이전 강의 보기

2024.08.11 - [기초공학과목/미분적분학(2)] - [미분적분학(2) 개념정리] 11.4 벡터의 외적(Cross Product)

[미분적분학(2) 개념정리] 11.4 벡터의 외적(Cross Product)

 

다음 강의 보기

2024.08.11 - [기초공학과목/미분적분학(2)] - [미분적분학(2) 개념 정리] 11.5 (2) 평면의 방정식(equation of the plane)

[미분적분학(2) 개념 정리] 11.5 (2) 평면의 방정식(equation of the plane)