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기초공학과목/미분적분학(2)

[미분적분학(2) 개념 정리] 11.5 (1) 직선의 방정식(equation of the line)

목차

1. 직선의 방정식

직선의 벡터 방정식, 매개변수방정식, 대칭방정식

2. 선분(line segment)의 벡터방정식, 꼬인 위치(skew line)

선분(line segment)의 벡터방정식

두 직선의 위치 관계 확인


직선의 방정식

직선의 방정식을 $xy$평면이 아닌, 3차원 좌표계에서 나타내는 방법은 3가지가 있습니다.

벡터 방정식, 매개변수방정식, 대칭방정식입니다.

먼저 벡터 방정식은, 벡터로 직선을 나타낸 방정식입니다.

 

직선의 벡터 방정식
직선의 벡터 방정식

Def.

직선의 벡터 방정식(vector equation for a line )은 다음과 같다.

$$
\mathbf{r}=\mathbf{r}_0+t \mathbf{v}
$$

이때, $\mathbf{r}_0$ 는 직선 위의 한 점, $\mathbf{v}$는 직선의 기울기 벡터(방향벡터),  $t$는 매개변수이다.

증명은 위 그림을 참조하여 할 수 있습니다! 

더보기

$xy$ 평면에서 직선은 직선의 한 점과 직신의 방향(기울기 또는 경사각)이 주어지면 결정되었죠.

이 경우 직선의 방정식은 점-기울기 두 가지를 이용해서 세울 수 있었습니다.

직선의 벡터 방정식


마찬가지로 이를 똑같이 적용할 것입니다.

임의의 직선 $L$ 의 한 점 $P_0\left(x_0, y_0, z_0\right)$ 과, 직선에 평행한 백터 $\mathbf{v}$(즉, 기울기 벡터)에 의 해 결정되는 $L$ 의 방향을 알면 3차원 공간에서 직선 $L$ 이 결정됩니다.

 

$P(x, y, z)$ 를 $L$ 위의 임의의 점이라고 가정합시다. 

그리고, 그림과 같이 $\mathbf{r}_0$ 과 $\mathbf{r}$ 를 각각 $P_0$ 과 $P$ 의 위치벡터(즉, $\mathbf{r}_0$ 과 $\mathbf{r}$ 는 $\overrightarrow{O P_0}$ 과 $\overrightarrow{O P}$ 를 나타낸다고 합시다)라 가정합시다.

그렇게 되면  $\mathbf{a}$ 가 $\overrightarrow{P_0 P}$ 로 표현될 수 있습니다.

그래서 벡터의 삼각형 법칙으로부터

$\mathbf{r}=\mathbf{r}_0+\mathbf{a}$ 를 얻습니다.

 

그런데 $\mathbf{a}$ 와 $\mathbf{v}$ 가 평행인 벡터이므로 $\mathbf{a}=t \mathbf{v}$ 를 만족하는 스칼라 $t$ 가 존재합니다. 따라서 $L$ 의 벡터방정식(vector equation)은 다음과 같습니다.

$$\mathbf{r}=\mathbf{r}_0+t \mathbf{v}$$

또한 매개변수 방정식 한 점과 기울기를 사용하여 구할 수 있습니다.

 

벡터 방정식에서 확장된 형태이며, 실제로 문제들을 풀 때는 대부분 이 식을 사용합니다.

다루기도 제일 편리한 식이어서 정말 중요합니다.

일차함수 때와 마찬가지로 한 점과 기울기를 알 수 있어서, 직선의 방정식을 구할 수 있는 겁니다!

Def. 직선의 매개변수 방정식 (Parametric equations for a line)

점 $\left(x_0, y_0, z_0\right)$ 을 지나고 방향벡터 $\langle a, b, c\rangle$ 와 평행인 직선의 매개변수방정식은 다음과 같다.
$$
x=x_0+a t, \quad y=y_0+b t, \quad z=z_0+c t
$$

 

증명은 위의 벡터 방정식을 성분으로 표현한 것이 끝입니다.

더보기

 

매개변수 방정식
매개변수 방정식

위에서 유도했던 것처럼 매개변수(parameter) $t$ 의 값에 따라 직선 $L$ 위의 점에 대한 위치벡터 $\mathbf{r}$ 가 정해집니다. 즉, $t$ 가 변함에 따라 벡터 $\mathbf{r}$ 의 종점의 자취가 직선을 그립니다. (그림 참조)

예를 들어 $t$ 의 양수값에는 $P_0$ 의 한쪽에 있는 $L$ 의 점이 대응되지만, $t$ 의 음수값에는 $P_0$ 의 다른 한쪽에 있는 $L$ 의 점이 대응됩니다.

 

이제 성분을 사용하면 증명이 끝납니다.
직선 $L$ 의 방향을 정해 주는 벡터 $\mathbf{v}$ 를 성분을 이용해서 $\mathbf{v}=\langle a, b, c\rangle$ 와 같이 쓰면, $t \mathbf{v}=\langle t a, t b, t c\rangle$ 입니다. 또한 $\mathbf{r}=\langle x, y, z\rangle$ 와 $\mathbf{r}_0=\left\langle x_0, y_0, z_0\right\rangle$ 로 쓸 수 있으므로 위 벡터 방정식을 성분으로 표현하면,
$$
\langle x, y, z\rangle=\left\langle x_0+t a, y_0+t b, z_0+t c\right\rangle
$$
가 됩니다.


두 벡터가 같기 위한 필요충분조건은 대응하는 성분들이 같아야 한다는 것을 생각하면, $t \in \mathbb{R}$ 일 때 다음과 같은 세 개의 스칼라방정식을 얻을 수 있습니다.( $t$가 실수일 때)
$$
x=x_0+a t, \quad y=y_0+b t, \quad z=z_0+c t
$$

 


P1)

예제 1번 직선의 벡터방정식

(a) 점 $(5,1,3)$ 을 지나고 벡터 $\mathbf{i}-4 \mathbf{j}-2 \mathbf{k}$ 에 평행인 직선의 벡터방정식과 매개변수방정식을 구하시오.
(b) 직선 위의 다른 두 점을 구하시오.

(둘 다 답은 유일하지 않다.)

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Sol.

(a)

직선 위의 한 점 $\mathbf{r}_0=\langle 5,1,3\rangle=5 \mathbf{i}+\mathbf{j}+3 \mathbf{k}$

기울기 벡터(방향벡터) $\mathbf{v}=\mathbf{i}+4 \mathbf{j}-2 \mathbf{k}$

이므로, 벡터방정식은 다음과 같습니다.
$$
\begin{array}{ll} 
& \mathbf{r}=(5 \mathbf{i}+\mathbf{j}+3 \mathbf{k})+t(\mathbf{i}+4 \mathbf{j}-2 \mathbf{k}) \\
\text { 즉 } & \mathbf{r}=(5+t) \mathbf{i}+(1+4 t) \mathbf{j}+(3-2 t) \mathbf{k}
\end{array}
$$

매개변수방정식 벡터방정식을 성분으로 표현한 것이므로,
$$
x=5+t, \quad y=1+4 t, \quad z=3-2 t
$$

입니다.
(b)

$t$에 아무 숫자 두 개를 대입하면 됩니다.

매개변수의 값을 $t=1$ 로 선택하면 $x=6, y=5, z=1$ 이므로 $(6,5,1)$ 은 직선 위의 점입니다. 마찬가지로 $t=-1$ 이면 점 $(4,-3,5)$ 를 얻을 수 있습니다.

위 예시처럼, 직선의 벡터방정식과 매개변수방정식은 유일하지 않습니다.

점이나 매개변수를 바꾸거나 평행인 다른 벡터를 선택하면 방정식은 달라집니다.

 

예를 들어 예제 1에 서 $(5,1,3)$ 대신에 점 $(6,5,1)$ 을 선택하면 직선의 매개변수방정식은 다음과 같이 변합니다.
$$
x=6+t, \quad y=5+4 t, \quad z=1-2 t
$$

또는 점 $(5,1,3)$ 을 그대로 두고, 평행인 벡터 $2 \mathbf{i}+8 \mathbf{j}-4 \mathbf{k}$ 를 선택하면, 방정식은 다음과 같습니다.
$$
x=5+2 t, \quad y=1+8 t, \quad z=3-4 t
$$



일반적으로 직선 $L$ 의 방향을 표시하는 데 벡터 $\mathrm{v}=\langle a, b, c\rangle$ 를 이용합니다.

이때 수 $a, b$, $c$ 를 $L$ 의 방항수(direction number)라 합니다.

 

참고로 $v$ 에 평행인 임의의 벡터가 사용될 수 있으므로 $a, b, c$ 에 비례하는 세 수도 $L$ 의 방향수로 이용될 수 있습니다. 즉, 상수배가 가능합니다.


마지막으로 대칭방정식에 대해 알아보겠습니다.

대칭방정식은 매개변수 방정식에서 매개변수를 전부 소거하면 나옵니다.

Def. 직선의 대칭 방정식(symmetric equations for the line)

점 $\left(x_0, y_0, z_0\right)$ 을 지나고 방향벡터 $\langle a, b, c\rangle$ 와 평행인 직선의 대칭 방정식 (symmetric equations for the line) 은 다음과 같다.

$$
\quad \frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}
$$

 

증명은 매개변수 방정식에서 매개변수를 소거하는 식으로 할 수 있습니다. (더 보기를 눌러 확인하세요)

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$$
x=x_0+a t, \quad y=y_0+b t, \quad z=z_0+c t
$$

으로부터, $a$, $b, c$ 중 어느 것도 0이 아니면, 각 방정식을 $t$ 에 관해 풀 수 있으므로 그 결과를 같게 하면 다음 식을 얻을 수 있습니다.
$$
\begin{gathered}
t=\frac{x-x_0}{a}, \quad t=\frac{y-y_0}{b}, \quad t=\frac{z-z_0}{c} 
\end{gathered}$$

 

이때 $t$를 모두 같게 놓으면, 

$$
\quad \frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}
$$

가 됩니다.

이때, 만약 $a=0$이면 어떻게 될까요? 그래도 대칭방정식으로 표현이 가능합니다.

만약 $a=0$ 이면 $L$ 의 대칭방정식은 다음과 같습니다.
$$
x=x_0, \quad \frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}
$$

이것은 $L$ 이 수직평면 $x=x_0$ 안에 놓여 있음을 의미합니다.

 


P2)

(a) 점 $A(2,4,-3)$ 과 $B(3,-1,1)$ 을 지나는 직선의 매개변수방정식과 대칭방정식을 구하라.
(b) 이 직선은 어느 점에서 $x y$ 평면과 만나는가?

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Sol.

(a) 직선과 평행인 벡터가 바로 주어져 있지는 않지만,

$\overrightarrow{A B}$ 로 표현되는 벡터 $\mathbf{v}$ 가 직선의 기울기임을 알 수 있습니다.

벡터의 성질을 사용하여 $\mathbf{v}$를 구하면,
$$
\mathbf{v}=\langle 3-2,-1-4,1-(-3)\rangle=\langle 1,-5,4\rangle
$$

입니다. 따라서 방향수는 $a=1, b=-5, c=4$ 임을 알 수 있습니다.

직선 위의 한 점 $(2,4,-3)$ 을 $P_0$으로 두면, 매개변수방정식은, 
$$
x=2+t, \quad y=4-5 t, \quad z=-3+4 t
$$
입니다.

대칭방정식은,
$$
\frac{x-2}{1}=\frac{y-4}{-5}=\frac{z+3}{4}
$$

입니다. (모두 공식을 그대로 사용합니다)


(b) $z=0$ 일 때 직선은 $x y$ 평면과 만납니다.

매개변수방정식으로부터 $z=-3+4 t=0$, 즉 $t=\frac{3}{4}$ 을 얻을 수 있습니다.

따라서 이 매개변수를 모든 좌표에 대입하면

$x=2+\frac{3}{4}=\frac{11}{4}$ 이고 $y=4-5\left(\frac{3}{4}\right)=\frac{1}{4}$ 이므로

직선이 $x y$ 평면과 만나는 점은 $\left(\frac{11}{4}, \frac{1}{4}, 0\right)$ 입니다.

cf) 대칭방정식을 사용하여 $z=0$이라 놓으면, 대칭방정식은
$$
\frac{x-2}{1}=\frac{y-4}{-5}=\frac{3}{4}
$$
와 같습니다.
이로부터 $x=\frac{11}{4}, y=\frac{1}{4}$ 을 얻는다.

cf) 일반적으로 에제 2와 같이 점 $P_0\left(x_0, y_0, z_0\right)$ 과 $P_1\left(x_1, y_1, z_1\right)$ 을 지나는 직선 $L$ 의 방 향수는 $x_1-x_0, y_1-y_0, z_1-z_0$이다. 따라서 $L$ 의 대칭방정식은 다음과 같습니다.
$$
\frac{x-x_0}{x_1-x_0}=\frac{y-y_0}{y_1-y_0}=\frac{z-z_0}{z_1-z_0}
$$


선분(line segment)의 벡터방정식, 꼬인 위치(skew line)

가끔씩, 직선 전체가 아닌 그 일부분인 선분의 값이 필요할 때가 있습니다.

예를 들면, 점 $A(2,4,-3)$ 과 $B(3,-1,1)$  의 선분 $A B$ 를 어떻게 설명할 수 있을까요?

 

방법 1 : 단순히 매개변수/벡터방정식의 정의역을 제한합니다. ($\quad 0 \leq t \leq 1$)
$$
x=2+t, \quad y=4-5 t, \quad z=-3+4 t, \quad 0 \leq t \leq 1
$$
$$
\mathbf{r}(t)=\langle 2+t, 4-5 t,-3+4 t\rangle, \quad 0 \leq t \leq 1
$$

방법 2: 두 점을 알 때, 다음 공식을 사용합니다. (순서가 바뀌면 시점이 바뀌므로 조심합시다.)

Cor. 선분의 벡터방정식(the vector equation for line segment)

$$
\mathbf{r}(t)=(1-t) \mathbf{r}_0+t \mathbf{r}_1, \quad 0 \leq t \leq 1
$$

*매개변수 구간 제한을 잊으면 안 됩니다!

증명은 단순히 방향벡터(방향수)를 두 점을 사용해서 나타낸 것입니다.

(즉, 사실 방법 1, 2는 같은 개념을 사용한 것입니다.)

더보기

앞에서 배웠듯, 벡터 $\mathbf{r}_0$ 의 종점을 지나고 방향이 벡터 $\mathbf{v}$ 인 직선의 벡터 방정식은 $\mathbf{r}=\mathbf{r}_0+t \mathbf{v}$ 임을 알 수 있습니다.

직선이 벡터 $\mathbf{r}_1$ 의 종점도 지나면 $\mathbf{v}=\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_0$ 을 택할 수 있고, 따라서 직선의 벡터방정식은 다음과 같습니다.
$$
\mathbf{r}=\mathbf{r}_0+t\left(\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_0\right)=(1-t) \mathbf{r}_0+t \mathbf{r}_1
$$
$\mathbf{r}_0$ 에서 $\mathbf{r}_1$ 까지 이은 선분은 구간 $0 \leq t \leq 1$ 안에서만 정의됩니다.

 

3차원 좌표계에서 두 직선은 만나거나, 평행하거나, 꼬인 위치(둘 다 아님)에 있을 수 있습니다.

평행한 것은 그냥 방향수를 비교해서 같으면 평행한 것일 텐데..

꼬인 위치나 만나는 것은 어떻게 판단할까요?

 

Tip. 두 직선의 위치 관계 확인

두 직선 ($f, g$)의 임의의 매개변수 방정식 (각 매개변수를 $t$, $s$라 한다)에 대해,

각 매개변수방정식을,

$$
f_x(t), f_y(t),  f_z(t) // g_x(s), g_y(s),  g_z(s)
$$

라 가정합시다.

 

1. 방향수가 같은 경우

두 직선은 평행(parallel)합니다.

 

2. 방향수가 다른 경우

먼저 만나는 점이 있다면, 그 점에서의 $x, y, z$좌표가 다 같을 것이기에,

연립방정식
$$
f_x(t)= g_x(s), 
f_y(t)= f_y(s)
$$

를 풀어서, 만족하는 $t, s$를 구합니다.

이때 이 $t, s$를 $z$에(즉,$f_z(t), g_z(s)$)  대입했을 때,

값이 같으면, 만난다.(intersect)

값이 다르면, 꼬인 위치이다.(skew line)

 

예제를 통해 확인해 봅시다.


P3)

매개변수방정식이 다음과 같은 직선 $L_1$ 과 $L_2$ 가 있다.
$$\begin{aligned}& L_1: x=1+t, \quad y=-2+3 t, \quad z=4-t \\& L_2: x=2 s, \quad y=3+s, \quad z=-3+4 s \\&\end{aligned}$$
$L_1$ 과 $L_2$ 는 서로 꼬인 위치의 직선(skew line), 즉 두 직선은 만나지도 않고 평행하지도 않는 직선(같은 평면에 있지 않는) 임을 보여라.

더보기

Sol.

두 직선에 대응하는 방향벡터 $\langle 1,3,-1\rangle$ 과 $\langle 2,1,4\rangle$ 가 평행하지 않기 때문에 두 직선은 평행이 아닙니다.

만약, $L_1$ 과 $L_2$ 의 교점이 있다면, $t$ 와 $s$ 의 값이 존재해서 다음을 만족해야 합니다.(위 Tip 참고)
$$
\begin{aligned}
1+t & =2 s \\
-2+3 t & =3+s \\
4-t & =-3+4 s
\end{aligned}
$$

그러나 처음 두 방정식을 풀면 $t=\frac{11}{5}$ 와 $s=\frac{8}{5}$ 를 얻게 되는데, 이 값들은 셋째 방정식을 만족하지 않습니다. 따라서 세 방정식을 만족하는 $t$ 와 $s$ 의 값은 존재하지 않습니다. 그러므로 $L_1$ 과 $L_2$ 는 만나지 않기에, $L_1$ 과 $L_2$ 는 서로 꼬인 위치의 직선입니다.

읽어주셔서 감사합니다!

 

다음 시간엔 평면의 방정식을 다루어 보도록 하겠습니다 (분량이 너무 많아 반으로 나눴습니다)

 

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