[미분적분학(2) 개념 정리] 13.2 이변수함수의 극한과 연속(Limits and continuity of Functions of Two Variables)

 

목차

1.이변수함수의 극한 (Limits of Functions of Two Variables)

2.이변수함수의 연속 (continuity of Functions of Two Variables)

3.예제

증명이나 해설은 더보기를 눌러 확인할 수 있습니다! 꼭 한번씩 보시기 바랍니다.

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이변수함수의 극한 - 정의

단일 변수 함수($y=f(x)$)와 마찬가지로 이변수함수 역시 극한이 존재합니다.

이변수함수와 일변수함수의 극한을 정의하는 방법은 둘 다 입실론-델타 논법을 활용해서 계산할 수 있습니다.

그런데, 이 극한을 판별하는 과정이 조금 다릅니다.

 

먼저 극한을 정의하는 방식부터 알아봅시다.

Def. 이변수함수의 극한(약식)

점 $(x, y)$ 가 정의역 안에 있는 임의의 경로를 따라 점 $(a, b)$ 에 가까이 갈 때, $f(x, y)$ 의 값이 수 $L$ 에 가까워지면 다음과 같이 극한을 정의한다.
$$
\lim _{(x, y) \rightarrow(a, b)} f(x, y)=L
$$

Def. 이변수함수의 극한(엄밀한 정의)

$f$ 를 이변수함수라 하고 그 정의역 $D$ 는 점 $(a, b)$ 에 가까이 있는 점들을 포함 한다고 합시다. 임의의 $\varepsilon>0$ 에 대해 $(x, y) \in D$ 이고 $0<\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}<\delta$ 일 때 $|f(x, y)-L|<\varepsilon$ 이 성립하는 $\delta>0$ 이 존재한다고 하면,
$$
\lim _{(x, y) \rightarrow(a, b)} f(x, y)=L
$$

 

<증명>

아이디어는 입실론-델타 논법과 동일하나 상당히 복잡합니다 ㅠㅠ

입실론-델타 논법으로 이변수함수 극한 증명

$|f(x, y)-L|$ 은 수 $f(x, y)$ 와 $L$ 사이의 거리이고
$\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}$ 은 점 $(x, y)$ 와 점 $(a, b)$ 사이의 거리입니다.
따라서 $(x, y)$ 에서 $(a, b)$ 까지의 거리를 0에 수렴하도 충분히 작게 함으로써 $f(x, y)$ 와 $L$ 사이의 거리를 충분히 작게 할 수 있습니다.(정의역과 치역)


위 그림은 정의를 화살표 그림으로 설명한 것입니다. $L$ 부근에 임의로 작은 구간 $(L-\varepsilon, L+\varepsilon)$ 이 주어졌다고 합시다.
그렇게 되면, 중심이 $(a, b)$ 이고, 반지름이 $\delta>0$ 인 원판 $D_\delta$ 를 만들 수 있습니다.

(원판을 만드는 이유는 적당한 미소단위를 만들어야 하는데, 이변수함수에서는 정의역이 "영역"이므로 원으로 미소 단위를 만드는 겁니다.)
이때 $f$ 는 $D_\delta$ 에 속한 모든 점 [해당 점 $(a, b)$ 는 제외 가능 $]$ 을 구간 $(L-\varepsilon, L+\varepsilon)$ 안 의 점들에 대응시키게 됩니다.

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이변수함수의 극한 - 극한이 존재하지 않음을 보이기

 

일변수함수 $y=f(x)$에서는, 극한이 존재하지 않음을 보이려면 그냥 좌극한과 우극한만 비교하면 되었습니다.

좌극한과 우극한, 이는 일변수함수에서 해당 점으로 가는 경로가 좌측과 우측, 총 2개여서 두 케이스만 조사하면 되었던 것이죠.

그런데 이 "좌극한"과 "우극한"이라는 말, 이변수함수에서도 똑같이 적용 가능할까요?

결론부터 말하자면, 그렇지 않습니다.

이변수함수의 극한에서는 해당 점으로 가는 경로가 "무한대"입니다.

계속해서 언급드리지만 이변수함수의 정의역은, "영역"입니다. 즉, 일변수함수처럼 "선"이 아니기에, 해당 점으로 가는 경로가 셀 수 없이 많다는 뜻입니다.

 

그래서 이변수함수는 보통 문제로 출제되면 극한이 존재함을 보이는 것보다 극한이 존재하지 않음을 보이는 문제가 훨씬 많습니다. (모든 경로에 대해 조사할 수가 없기 때문이죠.)

극한이 존재하지 않음을 보이는 건 다음 이론을 참고하면 됩니다.

Thm. 이변수함수의 극한이 존재하지 않는 경우

경로 $C_1$ 을 따라 $(x, y) \rightarrow(a, b)$ 일 때 $f(x, y) \rightarrow L_1$ 이고 경로 $C_2$ 를 따라 $(x, y) \rightarrow(a, b)$ 일 때 $f(x, y) \rightarrow L_2$ 이고 $L_1 \neq L_2$ 이면 $\lim _{(x, y) \rightarrow(a, b)} f(x, y)$ 는 존재하지 않는다.

 

 

즉, 여러 경로를 따져봤을 때 극한값이 다른 두 경로가 나오게 되면 해당 극한값은 존재하지 않는다는 의미입니다.

보통 예제를 맨 아래에 놓는데 이건 한 번 보면서 하는게 좋을 것 같아 한 문제만 같이 풀어봅시다.

 

P1) $$\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}$$ 이 존재하지 않음을 보여라.

P1

$$f(x, y)=\left(x^2-y^2\right) /\left(x^2+y^2\right)$$
이라 해봅시다.
먼저 $x$축을 경로로 두고 따져봅시다.
이 경로에서 모든 $(x, y)$ 에 대해 $y=0$ 이므로 $x \neq 0$ 인 모든 $x$ 에서
$$f(x, 0)=x^2 / x^2=1$$
입니다. (이런 표현법을 꼭 기억하세요! 만약 해당 축으로 계산하게 되면 $x$ 또는 $y$값에 0을 대입하고 시작합니다.)



이제 앞과 달리 $x=0$ 으로 놓고 $y$ 축을 따라 접근해 봅시다.
그러면 $y \neq 0$ 인 모든 $y$ 에 대해
$$f(0, y)=\frac{-y^2}{y^2}=-1$$
입니다.
서로 다른 두 직선을 따라 $(x, y)$ 가 ( 0,0 )에 접근함에 따라 $f$ 가 다른 극한을 가지므로 주어진 극한은 존재하지 않습니다.

위로부터 알 수 있듯이 어느 정도의 직관이 필요합니다! 이는 교재에 있는 여러 문제를 풀면서 연습하다 보면 나중에는 딱 봐도 다른 극한값이 나올 것 같은 경로를 찾을 수 있습니다.

 

cf) 그럼 극한이 존재함을 증명하라고 하면 어떻게 해야 할까요 ? 여러가지 부등식의 성질과 입실론-델타 논법을 사용해서 엄밀하게 증명하는 방법밖에 없습니다((ㅜㅜ))

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이변수함수 극한의 계산 방법

일변수함수와 이변수함수의 극한의 계산 방법은 큰 차이가 없습니다.
즉 기존 극한의 법칙들을 이변수함수일 때도 확장할 수 있습니다.

아마 계산하시다 보면 자연스럽게 익숙해질 겁니다.

Def. 이변수함수에서 극한의 계산법
극한값이 존재한다는 가정하에, 다음 법칙들이 성립한다.
1. 합의 극한은 극한들의 합이다.
2. 차의 극한은 극한들의 차이다.
3. 함수의 상수배의 극한은 그 함수의 극한의 상수배이다.
4. 곱의 극한은 극한들의 곱이다.
5. 몫의 극한은 극한의 몫이다(분모의 극한이 0 이 아닐 때).
6. $\lim _{(x, y) \rightarrow(a, b)} c=c$

 

또한 일반적인 다항함수와 유리함수에는 직접 대입을 통해 극한값을 계산할 수 있습니다. (기존 일변수함수처럼요)

 

Thm. 이변수다항함수(polynomial function)의 극한
이변수다항함수는 $c x^m y^n$ 항들의 합이다. 예를 들어
$$
p(x, y)=x^4+5 x^3 y^2+6 x y^4-7 y+6
$$
등이 있다.
또한 모든 이변수 다항함수는 직접 계산한 값(함숫값)과 극한값이 동일하다.
$$
\lim _{(x, y) \rightarrow(a, b)} p(x, y)=p(a, b)
$$

Thm. 유리함수의 극한
예를 들어 유리함수는 다음과 같다.
$$
q(x, y)=\frac{2 x y+1}{x^2+y^2}
$$
유리함수 $q(x, y)=p(x, y) / r(x, y)$ 에 대해 $(a, b)$ 가 $q$ 의 정의역 안에 있다면 다음과 같다.
$$
\lim _{(x, y) \rightarrow(a, b)} q(x, y)=\lim _{(x, y) \rightarrow(a, b)} \frac{p(x, y)}{r(x, y)}=\frac{p(a, b)}{r(a, b)}=q(a, b)
$$
(단, $r(x,y)=0$을 제외함)

 

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이변수함수의 연속

극한이 있다면, 그에 뒤따르는 개념인 연속도 있겠죠?

이변수함수의 연속은 사실 일변수함수와 크게 다르지 않습니다. 사실 똑같다고 봐도 무방합니다.

그냥 극한값과 함숫값이 같으면 연속이기 때문이죠.

Thm. 이변수함수의 연속

이변수함수 $f$ 에 대해 다음이 성립하면, $f$ 는 $(a, b)$ 에서 연속이라고 한다.
$$
\lim _{(x, y) \rightarrow(a, b)} f(x, y)=f(a, b)
$$
또한 $D$ 에 속하는 모든 점 $(a, b)$ 에서 $f$ 가 연속이면, $f$ 는 영역 $D$ 에서 연속함수라고 한다.

 

하나 주의해야 할 점은 연속함수를 정의할 때 구간이 아닌 영역에서 연속이어야 한다는 점입니다. 이 점만 알고 있다면 일변수함수와 크게 다를 것은 없습니다.

 

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예제

P1. $f(x, y)=\frac{x y}{x^2+y^2}$ 일 때 $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} f(x, y)$ 는 존재하는가?

먼저 $x$축을 봅시다.
$x$축이므로, $y=0$으로 두면 $f(x, 0)=0 / x^2=0$ 입니다.

다음으로 $y$축을 봅시다.
$y$축이므로, $x=0$ 일 때 $f(0, y)=0 / y^2=0$ 입니다.

두 좌표축을 따라 동일한 극한을 얻지만, 이는 주어진 극한이 0 이라는 것은 아닙니다.
앞에서 설명했듯 경로의 개수는 무한대이기 때문이죠.

또 다른 직선인 $y=x$ 를 따라 $(0,0)$ 으로 접근해 봅시다.
모든 $x \neq 0$ 에 대해 다음을 얻습니다.
$$
f(x, x)=\frac{x^2}{x^2+x^2}=\frac{1}{2}
$$
다른 접근 경로에 따라 다른 극한을 가지므로, 주어진 극한은 존재하지 않습니다.

P2. $$\lim _{(x, y) \rightarrow(1,2)}\left(x^2 y^3-x^3 y^2+3 x+2 y\right)$$
를 구하시오.

$f(x, y)=x^2 y^3-x^3 y^2+3 x+2 y$ 는 다항식이기 때문에, 직접 대입해서 극한값을 구할 수 있습니다.
$$\lim _{(x, y) \rightarrow(1,2)}\left(x^2 y^3-x^3 y^2+3 x+2 y\right)=1^2 \cdot 2^3-1^3 \cdot 2^2+3 \cdot 1+2 \cdot 2=11$$

P3. $$\lim _{(x, y) \rightarrow(-2,3)} \frac{x^2 y+1}{x^3 y^2-2 x}$$
를 구하시오.

$f(x, y)=\left(x^2 y+1\right) /\left(x^3 y^2-2 x\right)$ 는 유리함수이고, $(-2,3)$ 이 정의역 안에 있고 분모가 0이 되지 않으므로 직접 대입해서 극한을 구할 수 있습니다.
$$
\lim _{(x, y) \rightarrow(-2,3)} \frac{x^2 y+1}{x^3 y^2-2 x}=\frac{(-2)^2(3)+1}{(-2)^3(3)^2-2(-2)}=-\frac{13}{68}
$$

P4. $$\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{3 x^2 y}{x^2+y^2}$$

가 존재하면 구하시오.

여러 경로를 생각해봐도, 경로에 따른 값이 0으로 일정하므로, 이는 극한이 존재한다는 것을 시사합니다. 다만 이로써 증명되는 것은 아닙니다. (여러 경로에서의 극한이 같다고 극한값이 존재하지 않는 것에 유의하세요!)
따라서 극한이 존재하는 것을 증명하려면 입실론-델타 논법을 고려해야 합니다.

임의의 $\varepsilon>0$ 에 대해 다음 조건을 만족하는 $\delta>0$ 을 찾아봅시다. 극한값은 추정에 의해 $0$이라고 가정합시다.
$$
\begin{array}{ll}
0<\sqrt{x^2+y^2}<\delta , \quad\left|\frac{3 x^2 y}{x^2+y^2}-0\right|<\varepsilon \\
\quad 0<\sqrt{x^2+y^2}<\delta, \quad \frac{3 x^2|y|}{x^2+y^2}<\varepsilon
\end{array}
$$

그런데 $y^2 \geq 0$ 이므로
$x^2 \leq x^2+y^2$ 이고,
따라서 $x^2 /\left(x^2+y^2\right) \leq 1$ 입니다. 따라서

$$\frac{3 x^2|y|}{x^2+y^2} \leq 3|y|=3 \sqrt{y^2} \leq 3 \sqrt{x^2+y^2}$$
으로부터 적절한 $\delta$값을 찾을 수 있습니다.
$\delta=\varepsilon / 3$ 으로 택하고 $0<\sqrt{x^2+y^2}<\delta$ 라 하면 다음과 같습니다.

$$
\left|\frac{3 x^2 y}{x^2+y^2}-0\right| \leq 3 \sqrt{x^2+y^2}<3 \delta=3\left(\frac{\varepsilon}{3}\right)=\varepsilon
$$

따라서 입실론-델타 정의에 의해, 극한값은 다음과 같습니다.
$$
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{3 x^2 y}{x^2+y^2}=0
$$

P5 . 주어진 함수는 연속함수인가?
\begin{cases}\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}, & (x, y) \neq(0,0) \\ 0, & (x, y)=(0,0)\end{cases}

$g$ 가 $(0,0)$ 에서 정의되지만 $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} g(x, y)$ 가 존재하지 않으므로 불연속입니다. (개념 설명할 때 이 함수의 극한값이 존재하지 않음을 증명했습니다.)

P6. 주어진 함수가 연속함수로써 정의되는 영역을 구하시오.

$$h(x, y)=\arctan (y / x)$$

$f(x, y)=y / x$ 는 유리함수이므로 직선 $x=0$ 을 제외한 영역에서 연속입니다. 그리고 함수 $g(t)=\arctan t$ 는 모든 곳에서 연속입니다. 따라서 아래처럼 합성함수 형태로 쓸 수 있고, 합성함수의 연속성에 의해 이 합성함수는 $x=0$ 을 제외하고 연속입니다.
$$
g(f(x, y))=\arctan (y / x)=h(x, y)
$$

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감사합니다.

다음 장에서는 이변수함수의 미분, 즉 편미분에 대해 다루어 보도록 하겠습니다.

 

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