[미분적분학(2) 개념 정리] 13.3 편도함수, 편미분, 클레로의 정리(Partial Derivatives, Clairaut’s Theorem)

목차

1. 이변수함수의 편도함수

2. 편미분계수의 해석

3. 고계 편도함수(2번 이상 편미분)

4. 클레로의 정리

5. 예제

증명이나 해설은 더보기를 눌러 확인할 수 있습니다! 꼭 한번씩 보시기 바랍니다.

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이변수함수의 편도함수(편미분)

"편미분"이란 용어, 아마 예전 교육과정 고등 수학을 열심히 하신 분들은 들어본 적이 있는 단어일 겁니다.

대학수학 및 공학에서 정말 중요한 내용이기 때문에, 한번 정확히 수학적으로 어떤 의미가 있는 것인지 알아봅시다.

 

이변수함수는 결국 함수이기에, 미분이 가능합니다!

그런데, 변수가 두 개면 어떻게 미분을 해야 할까요?

이와 같은 고민에서 나온 것이 바로 편미분(partial derivative)입니다.

 

 

편미분이라는 단어를 보면 알 수 있듯이, 특정 변수 한 개에 대해서만 미분하는 것입니다.

Def. 편도함수

정의 $f$ 가 이변수함수이면, 편도함수(partial derivative) $f_x$ 와 $f_y$ 는 다음과 같이 정의된다.
$$\begin{array}{rl}& f_x(x,y)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}\\ & f_y(x,y)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(x,y+h)-f(x,y)}{h}\end{array}$$

Def. 편도함수의 표기

편도함수의 기호 $z=f(x,y)$ 라고 할 때, 다음과 같은 표기가 사용된다.
$$\begin{array}{rl}& f_x(x,y)=f_x=\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial }{\partial x}f(x,y)=\frac{\partial z}{\partial x}=f_1=D_{1}f=D_{x}f\\ & f_y(x,y)=f_y=\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial }{\partial y}f(x,y)=\frac{\partial z}{\partial y}=f_2=D_{2}f=D_{y}f\end{array}$$

 

* $D_1$은 첫 번째 변수($x$)에 대한 편미분($D_x$)을 말하는 겁니다.

* 보통 아랫첨자 $f_x$ 보다는 파셜($\partial$, partial)을 많이 사용합니다.

파셜은 기존 미분의 $d$ 대신 사용됩니다. 자주 나오니 이름과 표기를 잘 알아둡시다.

 

$f$ 밑에 아랫 첨자로 $x$, $y$가 있는데 이게 각각 $x$에 대해 편미분, $y$에 대해 편미분 했다는 뜻입니다.

아래에 증명을 써놓았으니 오른쪽 극한식이 궁금하시면 한번 봐주시면 되겠습니다.

일반적으로 $f$ 가 두 변수 $x,y$ 의 함수일 때, $x$에 대해 편미분을 한다고 생각해 봅시다.
이때, $y$에 대해서는 미분하지 않으므로
$y=b$ ($b$ 는 상수 $)$로 $y$를 고정합시다.
그렇게 되면 사실상 일변수 $x$ 만의 함수인 $g(x)=f(x,b)$ 를 만들 수 있습니다.

이때 $g$ 가 $a$ 에서 미분계수를 가지면, 그것을 $(a,b)$ 에서 $x$ 에 관한 $f$ 의 편미분계수 라고 하고, 기호 $f_x(a,b)$ 로 나타냅니다.
$$g(x)=f(x,b),f_x(a,b)=g^{\prime }(a)$$

이제 오른쪽 극한식을 유도합시다.
일변수함수의 미분은 우리가 하던 대로 하면 됩니다.
먼저 미분계수의 정의에 따라 우리는 아래와 같은 식을 알고 있습니다.
$$g^{\prime }(a)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{g(a+h)-g(a)}{h}$$

따라서 $f_x(a,b)$는 다음과 같습니다. ($x$에 대해서만 미분하였으므로 해당하는 부분만 $h$를 사용합니다.)
$$f_x(a,b)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(a+h,b)-f(a,b)}{h}$$
이와 마찬가지로 $(a,b)$ 에서 $y$ 어 관한 $f$ 의 편미분계수 $f_y(a,b)$ 는 $x$ 를 $x=a$로 고정
시키고 함수 $G(y)=f(a,y)$ 의 $b$ 에서의 미분계수를 구함으로씨 다음과 같이 만들 수 있습니다.
$$f_y(a,b)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(a,b+h)-f(a,b)}{h}$$

물론 편도함수를 저 극한식에 직접 대입해서 구할 수도 있지만, 우리가 미분을 일일히 $f^{\prime }(a)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ 식에 대입하지 않는 것처럼, 편미분도 굳이 일일히 대입할 필요가 없습니다. (즉, 빠른 계산이 가능합니다.)

Thm. 편도함수의 계산

$z=f(x,y)$의 편미분은 다음과 같이 계산한다.
1. $y$ 를 상수로 보고 $x$ 에 관해 $f(x,y)$ 를 미분해서 $f_x$ 를 구한다.
2. $x$ 를 상수로 보고 $y$ 에 관해 $f(x,y)$ 를 미분해서 $f_y$ 를 구한다.

 

핵심은 "다른 변수를 상수로 둔다" 입니다.

상수로 두게 되면 사실 일변수함수를 미분하는 것과 아무런 차이가 없기 때문에 연산 과정은 사실 복잡하지 않습니다. 다만 계산 실수의 여지가 많아 조심하셔야 합니다.

특히, 만약 원래 함수에서 $x$에 대해 편미분하려고 하는데, $y$로밖에 이루어지지 않은 항이 있으면,

그 항은 편미분 결과 $0$이 됩니다.

 

본래는 문제를 아래에 두는데, 이건 푸는 것이 이해에 좋을 것 같아 예제를 통해 한번 알아봅시다.

(더보기를 눌러서 풀이를 꼭 봐주세요)

 

예제 ) $f(x,y)=x^3+x^2{y}^3-2y^2$ 일 때 $f_x(2,1)$ 을 구하시오.

$y$ 를 상수로 생각하고 $x$ 에 관해 미분해야 합니다!

첫 번째 항은, $x^3$ 이므로, 모든 미지수가 $x$로 이루어져 있으니까 그냥 미분하면 됩니다. ($=3x^2$)

두 번째 항은, $x^2{y}^3$이므로, $y$는 그대로 두고(상수이므로), $x$가 있는 항만 미분하면 됩니다.

($= 2 x y^3$)

세 번째 항은, $-2y^2$이므로, 모든 미지수가 $y$로 이루어져 있으니까 미분하면 $0$입니다. (상수를 미분하면 $0$이기 때문입니다.)

 

따라서 $x$에 대해 편미분한 결과는
$$f_x(x,y)=3x^2+2x{y}^3$$
입니다.

답은 주어진 숫자를 대입하면 됩니다.
$$f_x(2,1)=3\cdot 2^2+2\cdot 2\cdot 1^3=16$$

 

 

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참고로 편도함수는 삼변수함수에서도 사용 가능합니다.

물론 원리, 계산 방식 모두 정확히 동일합니다.

예를 들어 변수 $x,y,z$를 모두 가진 함수 $f$ 에 대하여 $x$ 에 관한 편도함수는 다음과 같이 정의됩니다.
$$f_x(x,y,z)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(x+h,y,z)-f(x,y,z)}{h}$$

 

*연산 방식 역시 동일하므로 편도함수 계산(나머지를 상수로 두고 계산하기)을 그대로 하시면 됩니다.

 

TMI지만 $n$변수함수로도 다음과 같이 확장 가능합니다.

일반적으로 $u$가 $n$변수함수 $u=f(x_1,x_2,\dots ,x_n)$ 일 때, 이것의 $i$ 번째 변수 $x_i$ 에 관한 편도함수는 다음과 같습니다.
$$\frac{\partial u}{\partial x_i}=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(x_1,\dots ,x_{i-1},x_i+h,x_{i+1},\dots ,x_n)-f(x_1,\dots ,x_i,\dots ,x_n)}{h}$$

또한 다음과 같이 쓰기도 합니다.
$$\frac{\partial u}{\partial x_i}=\frac{\partial f}{\partial x_i}=f_{x_i}=f_i=D_{i}f$$

 

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편미분계수의 기하적 해석 - 기울기

이 내용은 크게 중요한 내용은 아니니, 짤막하게 언급하고 넘어가겠습니다!

미분계수는 일변수함수에서 보통 "접선의 기울기"를 나타낼 때 사용되었습니다.

그렇다면 편미분계수도 역시 특정한 접선의 기울기를 나타내지 않을까요?

편미분계수의 기하적 해석

Thm. 편미분계수와 접선의 기울기
편미분계수 $f_x(a,b)$ 와 $f_y(a,b)$ 는 기하학적으로 평면 $y=b$ 와 $x=a$ 에서 $S$ 의 자취 $C_1$ 과 $C_2$ 에 대한 $P(a,b,c)$ 에서 접선의 기울기로 해석할 수 있다.

($x$축 방향 접선의 기울기, 쉽게 말해 $\frac{dz}{dx}$) = $f_x(a,b)$

($y$축 방향 접선의 기울기, 쉽게 말해 $\frac{dz}{dy}$ ) = $f_y(a,b)$

 

*이변수함수에서만 편미분계수와 접선의 기울기를 연관시킬 수 있다.

 

말이 정말 어려운데, 풀어서 설명하면 아래와 같습니다.

먼저, $z=f(x,y)$로 두면, 이는 변수가 3개이므로 곡면을 형성함을 알 수 있습니다. (이를 $S$라 합시다.)

그렇다면 특정 점 $(a,b)$ 에 대해서 $c=f(a,b)$가 성립합니다.

이때 이 점에서 곡면에 대해

($x$축 방향 접선의 기울기, 쉽게 말해 $\frac{dz}{dx}$) = $f_x(a,b)$

($y$축 방향 접선의 기울기, 쉽게 말해 $\frac{dz}{dy}$ ) = $f_y(a,b)$

라는 뜻입니다.

즉, 편미분계수가 곧 곡면 위의 한 점에서 특정 축방향으로 접선의 기울기라는 뜻이죠.

미분계수가 특정 곡선 위의 한 점에서 접선의 기울기를 나타낸 것과 대조적입니다.

 

아래 증명을 참조하세요!

방정식 $z=f(x,y)$ 는 곡면 $S(f$ 의 그래프)를 나타낸다는 것을 생각해봅시다.
이때 $f(a,b)=c$ 이면 점 $P(a,b,c)$ 는 $S$ 에 놓여 있습니다.

$y=b$ 를 고정해서 수직평면 $y=b$ 가 $S$ 와 만나는 곡선 $C_1$ 을 만듭시다.
마찬가지로 수직평면 $x=a$ 는 곡선 $C_2$ 에서 $S$ 와 만난다고 합시다.
그러면 두 곡선 $C_1$ 과 $C_2$ 는 점 $P$ 를 지납니다. (그림을 참조하세요)

앞에서 변수 하나를 고정했으므로 곡선 $C_1$ 은 함수 $g(x)=f(x,b)$ 입니다.
뭔가 익숙한 꼴이죠? 편미분을 하는 과정과 같습니다.
따라서 $P$ 에서 접선 $T_1$ 의 기울기 는 $g^{\prime }(a)=f_x(a,b)$ 입니다.

마찬가지로 곡선 $C_2$ 는 함수 $G(y)=f(a,y)$ 의 그래프이며,
$P$ 에서 접선 $T_2$ 의 기울기는 $G^{\prime }(b)=f_y(a,b)$ 이다.

따라서 편미분계수 $f_x(a,b)$ 와 $f_y(a,b)$ 는 기하학적으로 평면 $y=b$ 와 $x=a$ 에서 $S$ 의 자취 $C_1$ 과 $C_2$ 에 대한 $P(a,b,c)$ 에서 접선의 기울기로 해석할 수 있습니다.

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고계 편도함수

앞에서 본 편도함수들은 말 그대로 $x$ 또는 $y$에 대해서 한 번씩만 편미분했었습니다.
그러면 이계도함수처럼 편미분도 두번, 세번 할 순 없을까요?
편미분 역시 여러 번 가능합니다.


$f$ 가 이변수함수이면 편도함수 $f_x$ 와 $f_y$ 도 이변수함수이므로, 그것의 편도함수 ${\left(f_x\right)}_x$, ${\left(f_x\right)}_y,{\left(f_y\right)}_x,{\left(f_y\right)}_y$ 도 생각할 수 있고, 이것을 $f$ 의 2계 편도함수(second partial derivative)라 합니다.

Def. 이변수함수의 2계 편도함수
$z=f(x,y)$ 라 하면 다음과 같다.
$$\begin{array}{rl}& {\left(f_x\right)}_x=f_{xx}=f_{11}=\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}=\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x^2}\\ & {\left(f_x\right)}_y=f_{xy}=f_{12}=\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x}=\frac{{\partial }^{2}z}{\partial y\partial x}\\ & {\left(f_y\right)}_x=f_{yx}=f_{21}=\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}=\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}\\ & {\left(f_y\right)}_y=f_{yy}=f_{22}=\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}=\frac{{\partial }^{2}z}{\partial y^2}\end{array}$$

 

* 조심해야 할 점은 $\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)$ 와 $f_{xy}$ 의 $x,y$ 순서가 반대라는 점입니다.

즉, 기호 $f_{xy}$ (또는 ${\partial }^{2}f/\partial y\partial x$ )는 먼저 $x$ 에 관해 미분하고 다음으로 $y$ 에 관해 미분하는 것이고, 반면 $f_{yx}$ 는 $y$, 그다음 $x$ 순으로 미분하는 겁니다.

이 순서는 정말 헷갈리니까 확실히 알아놓으셔야 합니다!

 

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클레로의 정리

앞에서 고계 편도함수들을 배웠습니다.

이와 관련하여 정말정말 중요하고 편리한 정리가 하나 있습니다.

바로 "클레로의 정리"입니다.

 

Thm. 클레로의 정리

함수 $f$ 가 점 $(a,b)$ 를 포함하는 원판 $D$ 에서 정의된다고 하자. 함수 $f_{xy}$ 와 $f_{yx}$ 가 $D$ 에서 모두 연속이면 다음이 성립한다.
$$f_{xy}(a,b)=f_{yx}(a,b)$$

 

*연속이 아니면 성립하지 않을 수 있다.

 

즉,

$x$에 대해 편미분하고 $y$에 대해 편미분한 결과와

$y$에 대해 편미분하고 $x$에 대해 편미분한 결과가 같다는 겁니다.

아마 대부분의 함수는 주어진 영역에서 연속이니까 클레로의 정리는 거의 성립한다고 보시면 됩니다.

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참고로 2계 편도함수뿐만 아니라 3계 편도함수에서도 성립합니다.

또한 이변수함수뿐만 아니라 삼변수, 그 이상의 변수에서도 성립합니다.

예를 들면

$$f_{xyy}={\left(f_{xy}\right)}_y=\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x}\right)=\frac{{\partial }^{3}f}{\partial y^2\partial x}$$
으로부터,

클레로의 정리를 이용해서 이런 함수들이 연속이면 $f_{xyy}=f_{yxy}=f_{yyx}$ 임을 밝힐 수 있습니다.

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예제

P1. $f(x,y)=\sin \left(\frac{x}{1+y}\right)$ 일 때, $\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}$ 를 구하라.

일변수함수에서 쓰던 Chain Rule을 그대로 사용하고,

앞에서 배운 편미분(특정 변수를 상수로 두고 미분)을 사용하면 됩니다.
$$\begin{array}{rl}& \frac{\partial f}{\partial x}=\cos \left(\frac{x}{1+y}\right)\cdot \frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{x}{1+y}\right)=\cos \left(\frac{x}{1+y}\right)\cdot \frac{1}{1+y}\\ & \frac{\partial f}{\partial y}=\cos \left(\frac{x}{1+y}\right)\cdot \frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{x}{1+y}\right)=-\cos \left(\frac{x}{1+y}\right)\cdot \frac{x}{(1+y{)}^2}\end{array}$$

 

P2. 방정식 $x^3+y^3+z^3+6xyz+4=0$ 에 의해 $z$ 가 $x$ 와 $y$ 에 관한 음함수로 정의 될 때, $\partial z/\partial x$ 와 $\partial z/\partial y$ 를 구하시오. 그리고 $(-1,1,2)$ 에서 편미분계수를 계산하시오.

편미분에서도 음함수의 미분법을 사용할 수 있습니다.

다만 문제에서 "$z$ 가 $x$ 와 $y$ 에 관한 음함수로 정의 될 때"

라고 적혀있으므로, $z$를 상수로 둘 수는 없는 점에 유의합시다.

 

따라서 먼저 $\partial z/\partial x$ 를 구하기 위해 $y$ 를 상수로 취급하고 다음과 같이 $x$ 에 관해 음함수 미분을 하면 다음과 같습니다.
$$3x^2+3z^2\frac{\partial z}{\partial x}+6yz+6xy\frac{\partial z}{\partial x}=0$$

이 식을 $\partial z/\partial x$ 에 관해 풀면 다음을 얻습니다.
$$\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{x^2+2yz}{z^2+2xy}$$

마찬가지 방법으로 $\partial z/\partial y$를 구하기 위해 $x$를 상수로 취급하고 음함수 미분을 하면 다음을 얻습니다.
$$\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{y^2+2xz}{z^2+2xy}$$

마지막으로 점 $(-1,1,2)$ 가 $x^3+y^3+z^3+6xyz+4=0$ 을 만족하므로, $(-1,1,2)$ 는 곡면 위의 점입니다.

따라서 편미분한 식에 대입하면 끝입니다.
$$\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{(-1{)}^2+2\cdot 1\cdot 2}{2^2+2(-1)\cdot 1}=-\frac{5}{2},\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{1^2+2(-1)\cdot 2}{2^2+2(-1)\cdot 1}=\frac{3}{2}$$

P3. $f(x,y,z)=e^{xy}\ln z$ 일 때 $f_x,f_y,f_z$ 를 구하라.

$y$ 와 $z$ 를 상수로 생각하고 $x$ 에 관해 편미분하면 다음을 얻을 수 있습니다.
$$f_x=y{e}^{xy}\ln z$$

마찬가지 방법으로 다음 두 식을 얻을 수 있습니다.
$$f_y=x{e}^{xy}\ln z$$
$$f_z=\frac{e^{xy}}{z}$$

P4. $f(x,y)=x^3+x^2{y}^3-2y^2$ 의 2계 편도함수 4개를 구하라.

먼저 한 번씩 편미분한 결과는 다음과 같습니다.
$$f_x(x,y)=3x^2+2x{y}^3,f_y(x,y)=3x^2{y}^2-4y$$

그러므로 각각 $x,y$에 관해 편미분하면 끝입니다.
$$\begin{array}{ll}{f}_{xx}=\frac{\partial }{\partial x}(3x^2+2x{y}^3)=6x+2y^3,& f_{xy}=\frac{\partial }{\partial y}(3x^2+2x{y}^3)=6x{y}^2\\ f_{yx}=\frac{\partial }{\partial x}(3x^2{y}^2-4y)=6x{y}^2,& f_{yy}=\frac{\partial }{\partial y}(3x^2{y}^2-4y)=6x^{2}y-4\end{array}$$

P5. 파동방정식(wave equation)은 소리의 파동, 파장이나 흔들리는 줄을 따라 움직이는 진동과 같은 파형을 설명한다.

$$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}=a^2\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}$$

P5

$u(x,t)$ 가 현의 한쪽 끝으로부터 거리 $x$ 인 지점과 시각 $t$ 에서 진동하는 바이올린 현의 변위라고 하면, $u(x,t)$ 는 파동방정식을 만족한다. 여기서 $a$ 는 현의 밀도와 긴장에 의존하는 상수이다.

$u(x,t)=\sin (x-at)$ 가 파동방정식을 만족함을 보여라.

 

주어진 편미분을 모조리 계산한 후에 위 식에 집어넣으면 끝입니다.
$$\begin{array}{rlrl}{u}_x& =\cos (x-at)& u_t& =-a\cos (x-at)\\ u_{xx}& =-\sin (x-at)& u_{tt}& =-a^2\sin (x-at)=a^2{u}_{xx}\end{array}$$
그러므로 $u$ 는 파동방정식을 만족합니다.

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감사합니다.

다음 게시물은 접평면과 선형근사법에 대해 알아보도록 하겠습니다.

 

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