목차
1. 유체의 질량
밀도
비중량
비중
2. 이상기체의 법칙
이상기체의 법칙
절대압력, 계기압력
시작하기 전에..
유체역학을 처음 배우는 분들, 유체역학을 다시 보고 싶으신 분들, 혹은 유체역학에 대해 알고 싶어서 오신 분들 환영합니다!
저는 대학에 다니고 있는 대학생으로, 제가 공부했던 여러 학문 분야들의 내용을 정리하여 새로이 배우는 분들에게 더 쉬운 이해를 주고자 게시글을 작성하게 되었습니다!
대학과목 특성상 자료도 찾기 쉽지 않고 어렵기에 다양한 예시와 그림들, 그리고 문제들과 설명을 통해 많은 내용을 전달하고자 합니다.
오늘은 유체의 밀도, 비중량, 비중 , 이상기체의 법칙에 대해 알아보고자 합니다.
유체역학 SI Version Munson 저 6판을 참고하여 작성하였습니다. (CENGAGE 출판사)
유체의 질량
밀도 (density)
밀도(density)는 단위 체적당 질량을 의미합니다. 유체역학에서 밀도는 유체의 질량의 특성을 나타내기 위해 아주 중요하게 사용됩니다. 기호로는 $ \rho $를 사용하며, 수식으로 표현하면 아래와 같습니다.
$$ \rho =\frac {w}{V} $$
(이때 $w$는 질량, $V$는 부피입니다.)
밀도와 관련하여 유체역학에서 알아야 하는 것들은 아래와 같습니다.
- 밀도의 기본 단위는 $kg/m^{3}$를 사용합니다.
- 특별히 온도가 언급되지 않는 이상, 물의 밀도는 $1000kg/m^{3}$로 계산합니다.
- 액체는 압력과 온도에 따른 밀도 변화가 적지만, 기체는 압력과 온도 모두에 큰 영향을 받습니다.
밀도와 관련하여 잘 쓰이지는 않지만 비체적이라는 개념이 있습니다.
비체적(specific volume) $v$는 단위 질량당 체적을 의미합니다.
즉, 밀도의 역수입니다. 따라서 아래와 같이 정의됩니다.
$$v=\frac {1}{\rho}$$
잘 쓰이는 것은 아니라 그냥 이런 게 있다~ 정도로만 알면 되겠습니다.
비중량 (specific weight)
유체의 비중량(specific weight)은 그리스 문자 $\gamma$ (gamma)로 표시하며, 단위 부피당의 무게로 정의됩니다. 따라서 비중량은 밀도와 아래와 같은 관계가 있습니다.
$$
\gamma=\rho g
$$
(여기서 $g$는 중력 가속도를 의미합니다. 추정치는 대략 $9.81m/s^{2}$입니다.
앞에서 배웠듯 밀도는 유체의 질량을 나타낸다면, 비중량은 유체의 무게를 나타냅니다.
비중량의 단위는 $N/m^{3}$를 사용합니다.
비중량은 자주 사용되므로 꼭 알아두는 게 좋습니다!
비중(SG)
유체의 비중(specific gravity, $SG$)은 유체의 밀도와 물의 밀도( $1000 \mathrm {~kg} / \mathrm {m}^3$ ) 간의 비로 정의됩니다. 이때 물의 온도는 대략 4도( $4^{\circ} \mathrm {C}$)입니다.
비중을 식으로 표현하면 아래와 같습니다.
$$
S G=\frac {\rho}{\rho_{\mathrm {H}_2 \mathrm {O} (4^{\circ} \mathrm {C})}}
$$
밀도 간의 비이므로, 비중은 단위가 없습니다. (무단위)
아래 예제를 풀어보면서 감을 잡아봅시다.
Ex 1) 293K의 수은의 비중은 13.55이다. 수은의 밀도를 구하시오.
Sol.
$SG=\frac {\rho _{Hg}}{\rho _{H_2O}}$
임을 알 수 있습니다. 이때, 우리는 비중($SG$)과 물의 밀도( $1000 \mathrm {~kg} / \mathrm {m}^3$) 를 알고 있으므로, 각 값을 대입하면 $\rho _{Hg}$ 값을 구할 수 있습니다!
$
\rho_{\mathrm {Hg}}=(13.55)\left(1000 \mathrm {~kg} / \mathrm {m}^3\right)=13.6 \times 10^3 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^3
$
*사실 온도를 몰라도 풀 수 있었죠...! 비중이 주어진다면 온도를 쓸 일은 없습니다.
이로써 유체의 질량과 관련된 3가지 값들을 살펴보았습니다!
이상기체의 법칙
이상기체의 법칙
일반화학 시간에 배웠던 이상기체 방정식은 아래와 같습니다.
$$pV=nRT$$
양변을 $RT$로 나눕니다.
$$\frac {pV}{RT}=n$$
양변을 $V$로 나눕니다. 그리고 분자량 $M$을 곱합니다.
$$\frac {pM}{RT}=\frac {nM}{V}$$
$$\frac {p}{(R/M) T}=\frac {w}{V}$$
이때 밀도의 정의 $ \rho =\frac {w}{V} $를 사용하고, 임의의 기체상수 $R^{*}=(R/M)$을 사용하면, 식은 다음과 같습니다.
$$
\rho=\frac {p}{R^{*} T}
$$
(이때 $p$는 절대압력, $\rho$는 밀도, $T$는 절대온도, $R^{*}$는 기체상수입니다.)
절대압력과 계기압력의 차이는 아래에 서술되어 있습니다. "절대압력"을 기준으로 계산하여야 합니다.
당연하지만 분자량은 기체의 종류에 따라 다르므로 기체상수를 알고 있어야 합니다. 즉, 기체상수 $R^{*}=(R/M)$ 은 상황에 따라 값이 변합니다.
엄밀한 계산은 처음 방정식을 통해 계산하되, 상황에 맞게 밀도를 사용해야 하면 위 식을 쓰는 것이 편리할 수 있습니다.
절대압력(absolute pressure)과 계기압력(gage pressure)
유체역학에서 압력이란, 단위 면적당 평면에 수직으로 작용하는 힘( 유체분자들이 면에 충돌하면서 발생하는 힘 )으로 정의됩니다. 단위는 $N/m^{2}$ 또는 $Pa$를 사용합니다. ( $1 Pa = 1 N/m^{2}$ )
식은 아래와 같습니다.
$$P=\frac {F}{A}$$
(이때 $F$ : 수직력, $A$ : 면적을 의미합니다.)
압력은 측정 방식과 기준에 따라 두 가지로 나눌 수 있습니다.
절대압력 : 완전한 진공의 압력 ($0 kPa$)를 기준으로 측정한 압력
- 이상기체 법칙에서는 무조건 이 압력을 기준으로 계산해야 합니다.
계기압력 : 해수면에서의 표준대기압($101.3 kPa$)을 기준으로 측정한 압력
- 공학에서 측정 시에는 계기압력을 사용합니다.
또한 절대압력과 계기압력 간에는 다음과 같은 식이 성립합니다.
(절대 압력) = (계기 압력) $+101.3$
위 식을 통해서 절대 압력과 계기 압력 간의 전환이 가능하고, 이를 계산에 사용할 수 있습니다.
아래 문제를 통해 적용해 봅시다.
Ex 2) 공기 박스의 부피가 $0.024 \mathrm {~m}^3$이다. 이때 공기 온도는 $20^{\circ} \mathrm {C}$이다.( 대기압은 $101.3 \mathrm {kPa}(\mathrm {abs})$이라고 가정한다.)
박스의 계기압력이 $345 \mathrm {kPa}(\mathrm {gage})$ 일 때, 공기의 밀도와 무게를 구하시오.
기체 상수는 다음과 같다. $R=286.9 [J/kg * K]$
Sol.
밀도를 사용해야 하므로 먼저 밀도와 관련된 식
$$
\rho=\frac {p}{R T}
$$
을 사용합니다.
아래와 같은 과정을 잊으면 안 됩니다!
1. 주어진 값이 계기 압력이므로 절대 압력으로 전환합니다.($101.3$을 더합니다.)
2. 섭씨온도를 절대 온도로 변환합니다.
이후 계산을 해주면,
$$
\begin {aligned}
\rho & =\frac {345 \mathrm {kPa}+101.3 \mathrm {kPa}}{(286.9 \mathrm {~J} / \mathrm {kg} \cdot \mathrm {K})[(20+273) \mathrm {K}]} \\
& =5.30 \mathrm {~kg} / \mathrm {m}^3
\end {aligned}
$$
와 같습니다.
무게는 비중에 부피를 곱한 것과 같습니다. 즉, $w=\rho g V$입니다. (자주 사용되므로 알아두도록 합시다.)
$$
\begin {aligned}
w & =\rho g \times V \\
& =\left(5.30 \mathrm {~kg} / \mathrm {m}^3\right)\left(9.81 \mathrm{~m} / \mathrm {s}^2\right)\left(0.024 \mathrm{~m}^3\right) \\
& =1.25 \mathrm{~kg} \cdot \mathrm{m} / \mathrm{s}^2
\end {aligned}
$$
이고, $1 \mathrm {~N}=1 \mathrm{~kg} \cdot \mathrm{m} / \mathrm{s}^2$ 이므로 다음과 같이 됩니다.
$$
W=1.25 \mathrm{~N}
$$
이렇게 해서 모두 마무리되었습니다! 다음 시간에는 점성 계수에 대해 알아보도록 하겠습니다!
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