[유체역학 개념정리] 2.6 액주계(manometer)

 

목차

액주계(manometer)

1. 피에조미터관(piezometer tube)

2. 끝이 개방된 U튜브액주계

3. 끝이 막힌 U튜브액주계 (시차 액주계, differential manometer)

4. 경사관액주계(inclined-tube manometer)

오늘은 액주계(manometer) 에 대해 알아보고자 합니다. 유체역학 SI Version Munson 저 6판을 참고하여 작성하였습니다. (CENGAGE 출판사)

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액주계

압력을 측정하는 방법은 여러 가지가 있습니다. 이 중 유용한 방법 중 하나로 수직 또는 경사진 튜브 속의 액체 기둥을 사용하는 방법이 있습니다.

이러한 압력 측정 장치를 액주계(manometer)라고 부릅니다.

 

액주계의 세 가지 일반적인 형태로는

피에조미터관(piezometer tube)

U튜브액주계

경사관액주계(inclined-tube manometer)

가 있습니다.

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피에조미터관(piezometer tube)

피에조미터관(piezometer tube)

 

가장 간단한 형태의 액주계는 위 그림과 같이 위쪽이 열려 있고 다른 한쪽 끝은 압력을 측정하고자 하는 용기에 부착된 수직 튜브로 구성된 액주계입니다. 이를 piezometer tube라고 부릅니다.

cf) piezometer tube는 혈압계를 만드는 데 사용됩니다.

[유체역학 개념정리] 2.3 정지된 유체 내의 압력 분포 (pressure distribution in a stationary fluid )

 

액주계에는 정지된 유체기둥이 있으므로, 이에 대한 기본 방정식은 저번 시간에 배웠던(위 게시글 참조), 유체의 압력(incompressible) 공식은,

$$
p=\gamma h+p_0
$$
입니다.

(유체 내 임의의 높이에서의 압력을 기준압력 $p_0$ 및 $p_0$ 와 $p$ 사이의 수직거리 $h$ 의 식으로 나타낸 것입니다.

당연하겠지만 부호가 $+$이므로 기준압력 $p_0$보다 측정압력 $p$가 아래 있겠죠)

피에조미터관(piezometer tube)

2.3절에서 볼 수 있듯 정지된 유체 내에서는 아래로 내려가면 압력이 증가하고 위로 올라 가면 압력이 감소합니다.

이 식을 그림에 적용합시다.

이때 $p_A$ 는 $h_1$ 을 측정함으로써 아래의 식에서 얻을 수 있으며,
$$
p_A=\gamma_1 h_1
$$

여기서 $\gamma_1$ 은 용기 안에 있는 액체의 비중량입니다.

높이 $h_1$ 은 액체 표면(meniscus)으로부터 점 (1)까지 측정한 값입니다.

 

위 식을 잘 보면, $p_0$가 안 보입니다. 튜브의 위쪽 끝이 열려 있으므로 $p_0$ 는 0 이 됩니다!(계기압력을 사용, 이러한 연산은 매우 자주 나오므로 지표면과 닿아있는 부분에서는 모두 0으로 취급하세요)

 

cf)점 (1)과 용기 속의 점 $A$ 는 높이가 같으므로 $p_A=p_1$ 이 됩니다.

피에조미터관은 매우 간단하며 정밀한 압력 측정 기구이지만 몇 가지 단점이 있습니다.

1. 용기 속의 압력이 대기압보다 높아야 합니다. (그렇지 않으면 공기가 용기 속으로 빨려 들어감)

2. 측정하려는 압력이 비교적 작아야 한다. (높이 때문에)

3. 압력을 측정 하고자 하는 용기 속의 유체는 기체가 아닌 액체여야 합니다. (사실 위 공식을 적용한 것이 액체라서 가능한 겁니다. 2.3 참조.)

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끝이 개방된 U튜브액주계

U튜브액주계

 

앞에서 언급한 어려움을 극복하기 위해 많이 사용되는 다른 형태의 액주계는 그림과 같이 U 형태의 튜브로 구성되어 있는 액주계입니다. 액주계 가운데에 있는 유체를 계기유체(gage fluid)라고 합니다.

 

압력 $p_A$ 를 여러 액체기둥의 높이로 표시하기 위해서는 시스템의 한쪽 끝에서 시작하여 다른 쪽 끝까지 비압축성 유체의 압력 식(높이-압력 변화)를 연속적 적용하면 됩니다.

 

우리는 점 $A$ 로부터 시작하여 개방된 쪽 끝으로 진행해 볼 겁니다. 시작지점은 점 $A$입니다.

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점 $A$와 점 (1)의 압력은 같습니다(높이 같음).

점 (1)에서 점 (2)로 이 동하면 압력은 $\gamma_1 h_1$ 만큼 증가합니다. (높이가 내려가면 압력 증가)

 

점 (2)의 압력은 점 (3)의 압력과 같습니다. (높이 같음).

 

점 (3) 의 압력이 지정된 후 압력이 0인 대기로 이동합니다.

위로 이동하므로 압력은 $\gamma_2 h_2$ 만큼 감소합니다. (높이가 올라가면 압력 감소)

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즉,
$$
p_A+\gamma_1 h_1-\gamma_2 h_2=0
$$
$p_A$에 대해서 쓰면, 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
$$
p_A=\gamma_2 h_2-\gamma_1 h_1
$$

Q. 점 (1)에서 오른쪽 튜브에 같은 높이에 있는 점으로 '건너뛸 수' 없는데 그 이유는 무엇일까요?

두 점이 같은 유체 안에 없기 때문입니다. 비중량이 달라서 연산이 한번에 안 됩니다. 그래서 위 과정처럼 차근차근 거쳐야 합니다. (같은 유체 내라면 높이가 같으면 바로 이동할 수 있습니다. 점 (2)와 (3) 처럼요.)

 

 

 

U튜브액주계의 주된 장점은 계기유체가 압력을 측정하고자 하는 용기 속의 액체와 달라도 되는 것입니다.

예를 들어 그림에서 $A$ 의 유체는 액체일 수도 있고 기체일 수도 있습니다.

 

그럼 위 계산은 액체로 했는데, 만일 $A$ 에 기체가 있으면 어떻게 될까요?

기체 기둥에 의한 압력 $\gamma_1 h_1$ 은 거의 무시될 수 있습니다. 따라서

$p_A \approx$ $p_2$ 가 되고

이 경우 식은
$$
p_A=\gamma_2 h_2
$$
가 됩니다.

 

따라서 압력이 주어진 경우, 높이 $h_2$ 는 액주계에 사용된 계기유체의 비중량 $\gamma_2$ 에 의해 결정됩니다.

압력 $p_A$ 가 큰 경우에는 무거운 계기유체(수은)를 사용하여 액체 기둥 의 높이가 너무 크게 되지 않도록 할 수 있습니다.

반면에 압력 $p_A$ 가 작은 경우에는 가벼운 계기유체(물)를 사용하여 비교적 큰 액체 기둥을 얻을 수 있습니다.\

 

유체역학 압력 관련 어떤 문제를 풀던지간에, 다음 3가지를 기억하세요!

Tip. 유체(액체)간 압력 문제 풀이

1. 대기에서 압력은 0

2. 높이와 압력은 반비례 (높이 감소 시 $+\gamma h$, 높이 증가 시 $-\gamma h$)

3. 같은 유체(경계면 포함), 같은 높이 = 같은 압력

 

cf) 기체에서는 대부분 높이에 의한 압력변화 무시 가능

 

 

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P1) 그림과 같이 저장된 밀폐 탱크 속에 압축공기와 기름 $\left(S G_{\mathrm{oil}}=0.9\right)$이 들어 있다.

탱크에는 수은 $\left(S G_{\mathrm{Hg}}=13.6\right)$ 을 사용하는 U튜브액주계가 연결되어 있다.

액체의 높이는 각각 $h_1=91.4 \mathrm{~cm}, h_2=15.2 \mathrm{~cm}, h_3=22.9 \mathrm{~cm}$ 이다.

탱크 위 압력계에서의 압력 $\left(\mathrm{N} / \mathrm{cm}^2\right)$ 은 얼마인가?

P1

Sol.

압력계에서 시작하여 다른 쪽 끝으로 진행하는 일반적인 절차를 따라가 봅시다.

즉, 공기-기름의 경계면에서 시작하여 압력이 0인 개방된 쪽으로 진행할 것입니다.

 

(1)에서 의 압력은
$$
p_1=p_{\text {air }}+\gamma_{\text {oil }}\left(h_1+h_2\right)
$$
입니다. (당연한 결과입니다, 높이 감소 -> 압력 증가! 꼭 외우세요)

 

이 압력은 높이 (2)에서의 압력과 같습니다.

같은 유체, 같은 높이에 있기 때문입니다. -> 압력 같음

 

이제 높이 (2)에서 대기 쪽으로 이동하면 압력은 $\gamma_{\mathrm{H}_{\mathrm{B}}} h_3$ 만큼 감소합니다.

(높이 증가 -> 압력 감소)

또한 대기의 압력은 0입니다. 따라서 액주계의 식은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

$$
p_{\text {air }}+\gamma_{\text {oil }}\left(h_1+h_2\right)-\gamma_{\mathrm{Hg}} h_3=0
$$

Specific Gravity를 사용해서 나타내면

 

$$
p_{\text {air }}+\left(S G_{\text {oil }}\right)\left(\gamma_{\mathrm{H}_2 \mathrm{O}}\right)\left(h_1+h_2\right)-\left(S G_{\mathrm{Hg}_{\mathrm{g}}}\right)\left(\gamma_{\mathrm{H}_2 \mathrm{O}}\right) h_3=0
$$
이 됩니다. 이제 계산합시다!
$$
\begin{aligned}
p_{\text {air }}= & -(0.9)\left(9800 \mathrm{~N} / \mathrm{m}^3\right)\left(\frac{91.4+15.2}{100} \mathrm{~m}\right) \\
& +(13.6)\left(9800 \mathrm{~N} / \mathrm{m}^3\right)(22.9 / 100 \mathrm{~m})
\end{aligned}
$$
이므로
$$
p_{\text {air }}=21 \mathrm{kPa}
$$

입니다.

cf) 물론 기압계와 공기-기름면이 약간의 높이차(거리)가 있습니다만, 기체는 보통 무시가 가능하므로, 그냥 같은 압력이라고 계산합시다.

단위를 맞추면
$$
p_{\text {gage }}=\frac{21 \mathrm{kPa}}{10^4 \mathrm{~cm}^2 / \mathrm{m}^2}=2.1 \mathrm{~N} / \mathrm{cm}^2
$$

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U튜브 시차 액주계(diff. manometer)

U튜브 시차 액주계

U튜브액주계는 앞에서처럼 사용될 수도 있지만,

어떤 계에서 두 점 사이 또는 두 용기 사이의 압력차를 측정하는 데에 사용되기도 합니다.

 

위처럼 두 용기 $A$ 와 $B$ 사이에 연결된 액주계를 고려합시다.

매번 하던 것처럼, $A$ 와 $B$ 사이의 압력차는 시스템의 한쪽 끝에서 시작하여 다른 쪽 끝으로 이동하면서 얻을 수 있습니다. $A$부터 시작합시다.

Tip. 유체(액체)간 압력 문제 풀이

1. 대기에서 압력은 0

2. 높이와 압력은 반비례 (높이 감소 시 $+\gamma h$, 높이 증가 시 $-\gamma h$)

3. 같은 유체(경계면 포함), 같은 높이 = 같은 압력

 

$A$ 의 압력은 $p_A$ 이고 $p_1$ 과 같으며,

점 (2)로 이동하면 압력은 $\gamma_1 h_1$ 만큼 증가합니다.

점 (2)의 압력은 $p_3$ 와 같고

점 (4)로 올라가면 압력은 $\gamma_2 h_2$ 만큼 감소합니다.

마찬가지로 점 (4)에서 점 (5)로 올라가면 압력은 $\gamma_3 h_3$ 만큼 감소합니다.

마지막으로 (5) 와 $B$ 의 높이가 같으므 로 $p_5=p_B$ 입니다.

(계속해서 계산한 겁니다. 이번에는 대기랑 맞닿는 부분이 없네요.)

 

그렇게 되면
$$
p_A+\gamma_1 h_1-\gamma_2 h_2-\gamma_3 h_3=p_B
$$

입니다. (사실 $B$ 에서 $A$ 로 해도 같은 결과를 얻을 수 있습니다.)

어쨌든 압력차는
$$
p_A-p_B=\gamma_2 h_2+\gamma_3 h_3-\gamma_1 h_1
$$

가 됩니다.

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양쪽 튜브에 각각 메니스커스(meniscus)가 있는 단순한 U튜브액주계의 경우 모세관 영향이 서로 상쇄되고(단, 양쪽 메니스커스에서 표면장력이 같고 튜브의 직경도 같다고 가정하면)

또는 직경이 비교적 큰(직경이 1.3 cm 이상 되는) 튜브를 사용하여 경계면 높이의 증가를 무시할 수 있을 정도로 만들 수 있기 때문에 표면장력에 의한 모세관 현상은 보통 고려 하지 않습니다.

 

보통 많이 사용되는 계기유체는 물과 수은입니다.

이 두 유체는 워낙 자주 사용되어 명확한 메니스커스가 잘 알려져 있습니다.(계기유체로서의 매우 중요한 특성)

또한 계기유체는 접촉하는 다른 유체와 섞이지 말아야 합니다

그리고 고도의 정밀도를 요구하는 측정에 서는 온도에 특별한 주의를 기울여야 하는데 그 이유는 액주계 내의 유체의 비중량이 온도에 따라 변하기 때문입니다.

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P2) 아래 그림처럼 유동노즐과 관이 연결되어 있다.

(a) $p_A-p_B$에 대해, 유체의 비중량 $\gamma_1$, 계기유체의 비중량 $\gamma_2$ 와 그림에 표시된 높이들을 미지수로 두는 식을 구하라.

(b) $\gamma_1=9.80 \mathrm{kN} / \mathrm{m}^3, \gamma_2=15.6 \mathrm{kN} / \mathrm{m}^3, h_1=1.0 \mathrm{~m}, h_2=0.5 \mathrm{~m}$ 일 경우, 압력강하 $p_A-p_B$ 는 얼마인가?

P2

 

Sol. 계속해서 하던 대로 하면 됩니다.

(a) 파이프 속의 유체는 흐르고 있지만, 액주계 튜브 속의 유체는 정지되어 있으므로, 액주계 내부의 압력 변화는 유체 정역학(즉, 아까 공식을 사용할 수 있다는 뜻)을 따릅니다.

 

점 $A$ 에서 시작하여 위쪽으로 점 (1)까지 이동하면 압력은 $\gamma_1 h_1$ 만큼 감소합니다.

또한 이 압력은 (2)와 (3)의 압력과 같습니다.

(3)에서 (4)로 이동하면 압력은 $\gamma_2 h_2$ 만큼 더 감소합니다.

높이 (4)와 (5)에서의 압력은 같고,

(5)에서 $B$ 로 이 동하면 압력은 $\gamma_1\left(h_1+h_2\right)$ 만큼 증가합니다.

 

따라서 식으로 나타내면
$$
p_A-\gamma_1 h_1-\gamma_2 h_2+\gamma_1\left(h_1+h_2\right)=p_B
$$
이고, 압력차에 대해 정리하면
$$
p_A-p_B=h_2\left(\gamma_2-\gamma_1\right)
$$
가 됩니다.

 

(b) 주어진 값을 사용하면

$$\begin{aligned} p_A-p_B & =(0.5 \mathrm{~m})\left(15.6 \mathrm{kN} / \mathrm{m}^3-9.80 \mathrm{kN} / \mathrm{m}^3\right) \\ & =2.90 \mathrm{kPa}\end{aligned}$$

입니다.

 

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4. 경사관액주계(inclined-tube manometer)

경사관액주계(inclined-tube manometer)

 

작은 압력 변화를 측정하기 위해서는 그림과 같이 경사져 있는 액주계가 자주 사용됩니다.

 

위 그림처럼, 액주계의 한쪽 기둥이 각도 $\theta$ 만큼 경사져 있으며, 길이 $\ell_2$ 는 경사관을 따라 눈금을 읽어
측정됩니다.

 

이때 압력차를 구할 수 있겠네요. (대기와 맞닿는 면이 없으므로 압력차가 산출되겠네요.)

계속해서 $A$부터 시작해서 $B$까지 가봅시다.

삼각비를 적절히 사용하면 다음과 같이 표현됩니다.
$$
p_A+\gamma_1 h_1-\gamma_2 \ell_2 \sin \theta-\gamma_3 h_3=p_B
$$
이때, 압력차 $p_A-p_B$ 는
$$
p_A-p_B=\gamma_2 \ell_2 \sin \theta+\gamma_3 h_3-\gamma_1 h_1
$$

로 표현됩니다.

따라서 액주계(manometer)가 경사져 있는 경우 점 (1)과 (2) 사이의 압력차는 두 점 사이의 수직거리 $\ell_2 \sin \theta$와 관련됨을 알 수 있습니다.

그러므로 압력차가 작은 경우에는 경사각을 작게 만들어 경사관을 따라 읽을 길이를 크게 만들 수 있겠죠?

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경사관액주계는 기체 압력의 작은 차이를 측정하는 데 자주 이용되며,

만약, $A$ 와 $B$ 에 기체가 채워져 있으면

(위 경우는 액체, 사실 액체의 식에서 높이차에 의한 압력 변화를 무시한 것뿐입니다.)
$$
p_A-p_B=\gamma_2 \ell_2 \sin \theta
$$
입니다.

빨간 글씨로 언급했듯이 기체 기둥 $h_1$ 과 $h_3$ 에 의한 무게는 무시되었습니다.

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cf) 다르게 표현하면
$$
\ell_2=\frac{p_A-p_B}{\gamma_2 \sin \theta}
$$

가 됩니다. 이는 경사관액주계에서 읽는 길이 $\ell_2$ 가 (주어진 압력차에 대해) 기존의 U 튜브액주계로 읽는 길이보다 $1 / \sin \theta$ 배로 커진다는 것을 보여줍니다.

$\theta \rightarrow 0$ 이면 $\sin \theta \rightarrow 0$ 임을 기억하세요!

 

 

 

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수고하셨습니다.

다음 시간에는 기계/전기식 압력측정에 대해 알아보겠습니다.

 

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