[유체역학 개념정리] 2.3 정지된 유체 내의 압력 분포 (pressure distribution in a stationary fluid )

목차

정지된 유체 내의 압력 분포

(1) 정지된 유체 내의 압력 분포
(2) 비압축성유체(액체 등)의 높이에 따른 압력 분포 (1)

(3) 비압축성유체(액체 등) 의 높이에 따른 압력 분포 (2)

(3) 압축성 유체

오늘은 정지된 유체 내의 압력 분포 (pressure distribution in a stationary fluid )에 대해 알아보고자 합니다. 유체역학 SI Version Munson 저 6판을 참고하여 작성하였습니다. (CENGAGE 출판사)

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정지된 유체 내의 압력 분포

저번 시간 2.2에 배웠던 내용을 참고해 봅시다.

[유체역학 개념정리] 2.2 압력장에 대한 기본 방정식 (the basic equation for the pressure field)

 

Def. 압력장에 대한 기본 방정식 (the basic equation for the pressure field)

$$
-\nabla p-\gamma \hat{\mathbf{k}}=\rho \mathbf{a}
$$

저번 게시글에서 압력장에 대한 기본 방정식을 유도했습니다.

이번에는 정지된 유체를 다뤄야 하므로 가속도가 없어야 합니다.

즉, $\mathbf{a}=0$ 이므로 식은
$$
\nabla p+\gamma \hat{\mathbf{k}}=0
$$

와 같이 변합니다.

 

이제 del 연산자를 벡터성분 형태로 풀어서 계산해 봅시다.

Thm. 델(Del)

$$
\nabla()=\frac{\partial()}{\partial x} \hat{\mathbf{i}}+\frac{\partial()}{\partial y} \hat{\mathbf{j}}+\frac{\partial()}{\partial z} \hat{\mathbf{k}}
$$

이고, $\nabla$ 기호는 기울기(gradient) 또는 "델(del)" 벡터 연산자이다.

$\hat{\mathbf{i}}, \hat{\mathbf{j}}, \hat{\mathbf{k}}$ 는 단위벡터이다. (표준기저벡터)

 

Del을 풀어서 생각해보면, 각 방향의 성분은 다음과 같습니다.
$$
\frac{\partial p}{\partial x}=0 \quad \frac{\partial p}{\partial y}=0 \quad \frac{\partial p}{\partial z}=-\gamma
$$

이 식으로부터, 압력이 $x$ 나 $y$ 방향으로 변하지 않는 것을 알 수 있습니다.

따라서 수평면($x-y$ 면에 평행 한 면) 에서는 한 점에서 다른 점으로 이동하여도 압력은 변하지 않습니다.

 

어차피 편미분값이 0이면 편적분(변수에 대해 적분)을 해도 0이므로, 우리는

$$\frac{\partial p}{\partial z}=-\gamma$$

만 생각하면 됩니다.

압력 $p$ 는 $z$ 에만 의 존하므로 위 식은 다음과 같이 상미분방정식으로 쓸 수 있습니다.

(편미분->미분)

Def. 정지된 유체에 대한 기본 방정식

$$
\frac{d p}{d z}=-\gamma
$$

 

따라서 이제 우리는 정지된 유체에 대한 기본 방정식을 얻었습니다!

이는 압력이 높이의 변화에 따라 어떻게 변하 는지 계산하는 데 사용될 수 있겠죠? (애초에 $xy$평면상으로는 압력변화가 없었으니까)

압력과 높이의 변화

이 식으로부터 위와 같은 그래프를 그릴 수 있습니다.

따라서 수직 방향으로의 압력 기울기가 음의 값임이므로, 정지된 유체 내에서 위쪽으로 갈수록 압력은 감소한다.

 

이 식에서 비중량 $\gamma$ 가 일정한 값이어야 한다는 조건은 없습니다.

따라서 이 식은 액체와 같이 비중량(specific weight) 이 일정한 경우나, 공기 또는 다른 기체와 같이 고도에 따라 비중량이 변할 수 있는 경우 에도 모두 사용할 수 있습니다.

그러나 압력을 알기 위해 위 식을 적분하려면 비중량(specific weight)이 $z$ 에 따라 어떻게 변하는지 알아야 합니다.

그래서 경우를 두 가지로 나누어 볼 것입니다.

 

cf) 유체가 움직이는 경우( $\mathbf{a}=0$ 이지만 정지되지 않은)의 압력 변화는 위와 달리 휠씬 더 복잡합니다.

예를 들어 달리는 자동차 표면의 압력분포는 $x, y$ 그리고 $z$ 방향에 대 하여 복잡한 형태로 변한다.

이 부분은 뒤에서 자세히 다룹니다.

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비압축성유체(액체 등)의 높이에 따른 압력 분포 (1)

비압축성유체의 높이에 따른 압력 분포

 

비중량은 유체의 밀도와 중력가속도를 곱한 것 $(\gamma=\rho g)$ 이므로 $\gamma$ 의 변화는 $\rho$ 또는 $g$ 의 변화에 의해 일어납니다.

그러나 $g$는 일정하므로 밀도의 변화에 초점을 맞춥시다.

1단원에서도 배웠듯이 밀도가 일정한 유체를 비압축성유체(incompressible fluid)라고 부릅니다.

 

[유체역학 개념정리] 1.4 유체의 압축성(등엔트로피 압축), 체적계수, 음속(incompressible, bulk modulus,

 

액체의 경우, 수직 방향으로 큰 높이 차이가 있어도 밀도의 변화는 일반적으로 무시할 수 있으므로, 액체는 비중량이 거의 일정합니다.

따라서 비압축성일 때는 직접 적분이 가능합니다.
$$
\int_{p_1}^{p_2} d p=-\gamma \int_{z_1}^{z_2} d z
$$

로부터
$$
p_2-p_1=-\gamma\left(z_2-z_1\right)
$$

이 되고, 또는
$$
p_1-p_2=\gamma\left(z_2-z_1\right)
$$

를 얻을 수 있습니다.

(그림에서 압력 $p_1$, $p_2$, 높이 $z_1$ 과 $z_2$를 의미합니다.)

높이차 $h$에 대해 표현하면,

Thm. 비압축성유체의 높이에 따른 압력 분포 (정말 중요합니다! 다른건 다 몰라도 이 식을 알아야 합니다)

$$
p_1=p_2+ \gamma h
$$

 

Tip.

위 식을 외우시되,

압력이 정의된 부분($p_2$)으로부터 높이가 내려가면 *빼기* 즉, $-\gamma h$

압력이 정의된 부분 ($p_2$) 으로부터 높이가 올라가면 *더하기*즉, $+\gamma h$

임을 외우시면 됩니다. 그림에서는 높이가 내려가니까 더하기를 한겁니다.

 

*높이가 낮을수록 압력이 높아지기 때문입니다.

 

예를 들어 $p_2$ 높이가 $5m$고 $p_1$ 높이가 $15m$ 면, $- \gamma h$ 를 해야 합니다.

Tip. 유체(액체)간 압력 문제 풀이

1. 대기에서 압력은 0

2. 높이와 압력은 반비례 (높이 감소 시 $+\gamma h$, 높이 증가 시 $-\gamma h$)

3. 같은 유체(경계면 포함), 같은 높이 = 같은 압력

 

cf) 기체에서는 대부분 높이에 의한 압력변화 무시 가능

이러한 유형의 압력분포를 보통 정수압분포(hydrostatic distribution)라고 합니다.

위 식으로부터 정지된 비압축성유체 내의 압력은 깊이에 따라 선형적으로 변함을 알 수 있습니다.(위쪽의 유체를 "받쳐 주기 위해" 압력은 깊이에 따라 증가해야 합니다.)

 

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비압축성유체의 높이에 따른 압력 분포 (2)

두 점 사이의 압력차는 수직거리 $h$ 로 표시될 수 있음을 알 수 있습니다.

cf)Def. 압력수두(Pressure head) - 뒤에서도 나옵니다

$$
h=\frac{p_1-p_2}{\gamma}
$$

이때 $h$가 압력수두(Pressure head)입니다.

 

이것은 압력차 $p_1-p_2$ 를 만드는 데 필요한, 비중량이 $\gamma$ 인 유체 기둥의 높이로 생각할 수도 있습니다.

 

보통 유체 압력분포 문제를 풀 때는 흔히 자유표면 (free surface), 또는 대기랑 맞닿는 면이 있으며 이 면을 기준평면으로 사용하면 편리합니다. (보통 공식을 연속적으로 사용하는데, 시작을 free surface에서 합니다.)

 

기준압력 $p_0$ 는 자유표면 에 작용하는 압력(대개는 대기압)이 되며,

식 전개 시작지점인 $p_2=p_0$ 라고 하면 자유표면 아 래쪽으로 깊이 $h$ 에서의 압력 $p$ 는 다음과 같습니다.
$$
p=\gamma h+p_0
$$

 

계속해서 언급되어서 익숙하시겠지만, 정지된 균일 비압축성유체 내의 압력은 기준면으로부터 깊이에만 의존하며 유체를 담은 용기의 크기나 모양으로부터 영향을 받지 않습니다.

 

그래서 용기의 모양이 매우 불규칙하여도 $xy$평면상의 모든 점에서 압력은 같습니다. 압력은 깊이 $h$, 자유표면에서의 압력 $p_0$, 그리고 용기 속의 액체의 비 중량 $\gamma$ 에만 의존합니다.

 

유체압력의 전달

 

유체 내에서 같은 높이의 압력은 동일하다는 결과는 아주 많은 분야의 유체 운동에서 중요합니다.

이러한 기구나 시스템의 기본적인 원리는 위 그림과 같습니다.

 

기름이나 기타 액체로 채워진 밀폐된 시스템의 한쪽 끝에 있 는 피스톤은 시스템 전체의 압력을 변화시키는 데 사용되며, 이 피스톤에 가해진 힘 $F_1$ 은 다른 피스톤에 $F_2$ 의 힘으로 전달됩니다.

 

양쪽 피스톤에 작용하는 압력 $p$ 는 같으므로

$$p=\frac{F_{2}}{A_{2}}=\frac{F_{1}}{A_{1}}$$

으로부터

$F_2=\left(A_2 / A_1\right) F_1$가 됩니다.

 

이 원리를 통해 피스톤의 면적 $A_2$ 를 $A_1$ 보다 훨씬 크게 만들 수 있으므로 큰 기계적인 이득을 얻을 수 있습니다.

즉 작은 피스톤에 가해진 작은 힘이 큰 피스톤에서는 큰 힘을 발생하게 합니다.

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Ex1)

휘발유 탱크에 보존을 위해 그림과 같이 아래에 물이 0.9 m 추가되었다. 휘발유의 비중(Specific gravity)이 $S G=0.68$ 이다.

 

(1) 휘발유와 물의 경계면에서의 압력과 압력수두(pressure head)는?

(2) 탱크 바닥에서의 압력 과 압력수두(pressure head)는?

 

(단 단위는 $\mathrm{N} / \mathrm{m}^2$ 과 $\mathrm{N} / \mathrm{mm}^2$ 의 단위로, 또 압력수두는 높이 $m$를 사용할 것.)

 

해설은 더보기를 눌러서 확인할 수 있습니다.

Sol.

(1) 정지된 액체에 관한 문제이므로 압력분포는 비압축성이며(incompressible)

따라서 압력의 변화는 다음의 식에서 구할 수 있습니다.
$$
p=\gamma h+p_0
$$

휘발유 자유표면에서의 압력이 $p_0$ 이면 경계면의 압력은

$S G \gamma_{\mathrm{H}_2 \mathrm{O}}=\gamma_{oil}$

입니다. (specific gravity의 정의를 잘 생각해보세요!)

그렇게 되면, 위 식은
$$
\begin{aligned}
p_1 & =S G \gamma_{\mathrm{H}_2 \mathrm{O}} h+p_0 \\
& =(0.68)\left(9800 \mathrm{~N} / \mathrm{m}^3\right)(5.2 \mathrm{~m})+p_0 \\
& =34.7+p_0\left(\mathrm{kN} / \mathrm{m}^2\right)
\end{aligned}
$$
와 같습니다.

대기압을 기준으로 압력을 측정하면(계기압력) $p_0=0$ 이고 따라서

pressure head 공식과 위 공식을 적절히 사용하면,
$$
\begin{gathered}
p_1=34.7 \mathrm{kN} / \mathrm{m}^2 \\
p_1=\frac{34.7 \mathrm{kN} / \mathrm{m}^2}{10^6 \mathrm{~mm}^2 / \mathrm{m}^2}=0.035 \mathrm{~N} / \mathrm{mm}^2 \\
\frac{p_1}{\gamma_{\mathrm{H}_2 \mathrm{O}}}=\frac{34.7 \mathrm{kN} / \mathrm{m}^2}{9800 \mathrm{~N} / \mathrm{m}^3}=3.54 \mathrm{~m}
\end{gathered}
$$

입니다.

 

(2)

(1)과 마찬가지로 계산하면 됩니다.

다만 기준압력을 $p_1$으로 잡는게 편하겠죠?

*그 이유는 만약 기준압력을 대기압으로 정의하면 계산을 두 번(유체의 종류가 다르기 때문에 SG값이 바뀜)해야 하기 때문입니다. 두 번 해도 같게 나옵니다.

 

계산하면

$$
\begin{aligned}
p_2 & =\gamma_{\mathrm{H}_2 \mathrm{O}} h_{\mathrm{H}_2 \mathrm{O}}+p_1 \\
& =\left(9800 \mathrm{~N} / \mathrm{m}^3\right)(0.9 \mathrm{~m})+34.7 \mathrm{kN} / \mathrm{m}^2 \\
& =43.5 \mathrm{kN} / \mathrm{m}^2 \\
p_2 & =\frac{43.5 \mathrm{kN} / \mathrm{m}^2}{10^6 \mathrm{~mm}^2 / \mathrm{m}^2}=0.044 \mathrm{~N} / \mathrm{mm}^2 \\
& \frac{p_2}{\gamma_{\mathrm{H}_2 \mathrm{O}}}=\frac{43.5 \mathrm{kN} / \mathrm{m}^2}{9800 \mathrm{~N} / \mathrm{m}^3}=4.44 \mathrm{~m}
\end{aligned}
$$

입니다.

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압축성 유체(기체 등)의 압력분포

기체의 밀도는 압력과 온도의 변화에 따라 상당히 변할 수 있으므로

공기, 산소, 질소와 같은 기체는 보통 압축성 유체(compressible fluid)로 간주합니다.

 

따라서 비압축성 유체처럼 직접 적분이 불가능합니다. (비중량의 변화 존재)

 

cf) 일반적인 기체의 비중량은 액체의 비중량에 비하여 매우 작습니다.

예를 들어 해 수면에서 $15^{\circ} \mathrm{C}(288 \mathrm{~K})$ 인 공기의 비중량은 $12 \mathrm{~N} / \mathrm{m}^3$ 인 반면에 같은 조건에서 물의 비중량은 $9800 \mathrm{~N} / \mathrm{m}^3$ 이다. 기체의 비중량은 비교적 작으므로, 수직 방향의 gradient도 역시 작으며, 기체 내에서는 수백 m 의 고도차이가 있어도 압력은 본질적으로 일정합니다. 이것은 탱 크와 같은 기구 내에서 기체의 높이 변화가 작으면 압력에 미치는 영향을 무시할 수 있음을 의미한다.

다만, 높이 변화가 수천 피트 정도로 큰 경우에는 비중량의 변화가 상당하므로 직접 적분이 불가능합니다.

유체의 이상기체의 상태방정식은 (링크 참조)

[유체역학 개념정리] 1.2 유체의 밀도, 비중량, 비중 , 이상기체의 법칙(density, specific weight, specific

$$
\rho=\frac{p}{R T}
$$

이며, 여기서 $p$ 는 절대압력, $R$ 은 기체상수이고 $T$ 는 절대온도입니다.

이 관계식을 식

$$
\frac{d p}{d z}=-\gamma
$$

에 대입하면
$$
\frac{d p}{d z}=-\frac{g p}{R T}
$$

가 됩니다. ($\gamma= \rho g$를 적용한 겁니다.)

이때, 이는 변수분리형 1차 미분방정식입니다.

 

따라서, 압력 $p$는 압력끼리, 높이 $dz$는 $T$와 관계가 있으므로 두 변수를 분리하여 표현하고, 적분하면

$$
\int_{p_1}^{p_2} \frac{d p}{p}=-\frac{g}{R} \int_{z_1}^{z_2} \frac{d z}{T}
$$

입니다. (여기서 $z_1$ 에서 $z_2$ 로 높이가 변하는 범위에서 $g$ 와 $R$ 은 일정한 것으로 가정하였습니다)

 

이때 다음 두 가지를 고려합시다.

 

(1) $\int_{p_1}^{p_2} \frac{d p}{p} =\ln \frac{p_2}{p_1}$ (적분)

(2) 등온 조건일 경우, 높이는 온도와 관계가 없어짐(원래는 관계있음)

예를 들어, $z_1$ 과 $z_2$ 사이에서 온도가 $T_0$ 로 일정하다고 가정함(등온조건)

 

그렇게 되면, 적분 결과는,

Thm. 압축성 유체(기체), 등온조건에서의 압력 분포

$$
p_2=p_1 e^{-\frac{g(z_2-z_1)}{R T_0}}
$$

가 됩니다.

---

Ex2)

(1)공기의 온도를 $15^{\circ} \mathrm{C}(288 \mathrm{~K})$ 로 가정하고 등온조건이라 하자. 828 m 의 건물 꼭대기와 지상에서의 압력의 비($\frac{p_2}{p_1}$) 를 구하라.

(2) 압력이 $101.3 \mathrm{kPa}, \gamma=12.0 \mathrm{~N} / \mathrm{m}^3$ (표준 해수면 상태에서의 공기 성질)인 비압축성 공기로 가정하여 (a)의 결과와 비교하라.

단, $R= 286.572 \mathrm{~J} / \mathrm{kg} \cdot \mathrm{K}$

Sol.

(1) 위 공식을 그대로 사용합시다.

등온조건이므로 공기를 압축성 유체로 취급하면, 위 식으로부터
$$
\begin{aligned}
\frac{p_2}{p_1} & =\exp \left[-\frac{g\left(z_2-z_1\right)}{R T_0}\right] \\
& =\exp \left\{-\frac{\left(9.81 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^2\right)(828 \mathrm{~m})}{(286.572 \mathrm{~J} / \mathrm{kg} \cdot \mathrm{K})(288 \mathrm{~K})}\right\} \\
& =0.906
\end{aligned}
$$

이 됩니다.

(2) 원래 기체는 압축성이지만, 비압축성이라고 가정하면, 아까 배운 공식

$$
p_1=p_2+ \gamma h
$$

를 사용해야 합니다. 압력의 비로 나타낼 수 있도록 적절히 표현해서 계산하면

\begin{gathered}\frac{p_2}{p_1}=1-\frac{\gamma\left(z_2-z_1\right)}{p_1} \\ =1-\frac{\left(12.0 \mathrm{~N} / \mathrm{m}^3\right)(828 \mathrm{~m})}{101.3 \mathrm{kPa}}=0.902\end{gathered}

가 됩니다.

 

 

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수고하셨습니다.

다음 시간에는 표준대기에 대해서 알아보겠습니다

 

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